Cách xác định góc giữa hai đường thẳng cực hay

A. Phương pháp giải

Để xác định góc giữa hai đường thẳng d và d’ ta có hai cách sau:

+ Cách 1: Gọi n→(x; y) và n'→( x'; y') lần lượt là VTPT của hai đường thẳng d và d’. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng. Ta có:

Cosα = |cos⁡( n→; n'→ ) | = 

+ Cách 2: Gọi k₁ và k₂ lần lượt là hệ số góc của hai đường thẳng. Gọi α là góc giữa hai đường thẳng. Ta có:

tgα = 

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Cho đường thẳng (a):  và đường thẳng ( b): x + my - 4 = 0. Hỏi có bao nhiêu giá trị của m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 60⁰.

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Lời giải

+ Đường thẳng (a) có VTCP u→( m, 1) nên có VTPT n→( 1; -m) .

+ Đường thẳng (b) có VTPT n'→( 1; m).

+ Để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 60⁰ thì:

Cos60⁰ = 

⇔ 1 + m² = 2.|1 - m²| (*)

+ Nếu -1 < m < 1 thì 1 - m² > 0. Từ (*) suy ra: 1 + m² = 2 (1 - m²)

⇔ 1+ m² = 2- 2m² ⇔ 3m² = 1

⇔ m² =  ⇔ m= ±  ( thỏa mãn điều kiện) .

+ Nếu m ≥ 1 hoặc m ≤ -1 thì 1- m² ≤ 0. Từ (*) suy ra:

1 + m² = 2( m² - 1) ⇔ 1 + m² = 2m² - 2

⇔ m² = 3 ⇔ m = ±√3.

Vậy có 4 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn D.

Ví dụ 2: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng ∆₁ : 10x + 5y - 1 = 0 và ∆₂ : 

A.     B.     C.     D. 

Hướng dẫn:

Vectơ pháp tuyến của ∆₁; ∆₂ lần lượt là n₁→ = (2; 1); n₂→ = (1; 1)

cos(∆₁; ∆₂) = |cos⁡( n₁→, n₂→ ) | = 

Chọn B.

Ví dụ 3. Tính góc giữa hai đường thẳng: 3x + y - 8 = 0 và 4x – 2y + 10 = 0 .

A. 30⁰    B. 60⁰    C. 90⁰    D. 45⁰

Lời giải

Đường thẳng: 3x + y – 8 = 0 có VTPT n₁→(3; 1)

Đường thẳng: 4x - 2y + 10= 0 có VTPT n₂→(4; -2)

cos(d₁, d₂) = |cos⁡( n₁→, n₂→ ) | =  ⇒ (d₁, d₂) = 45⁰

Chọn D.

Ví dụ 4: Tìm côsin góc giữa 2 đường thẳng d₁: x + 3y - 9 = 0 và d₂: 

A.     B.     C.     D. tất cả sai

Lời giải

Vectơ pháp tuyến của d₁; d₂ lần lượt là n₁→( 1; 3); n₂→(1; -1).

Cos( d₁; d₂) = |cos⁡( n₁→, n₂→ ) | = 

Chọn C.

Ví dụ 5 : Tính góc giữa hai đường thẳng: (a):  = 1 và (b): 

A. 0⁰    B. 45⁰    C. 60⁰    D. 90⁰

Hướng dẫn giải

Đường thẳng (a) ⇔ 4x + 2y - 8 = 0 có VTPT n→( 4; 2)

Đường thẳng (b) có VTCP u→( 2; -4) nên VTPT n'→( 4; 2)

⇒ cos(a; b) =  = 1

⇒ Góc giữa hai đường thẳng đã cho là 0⁰.

Chọn A.

Ví dụ 6: Cho đường thẳng (a): x + y - 10 = 0 và đường thẳng (b): 2x + my + 99 = 0. Tìm m để góc giữa hai đường thẳng trên bằng 45⁰.

A. m = -1    B. m = 0    C. m = 1    D. m = 2

Lời giải

Đường thẳng (a) có VTPT n→( 1; 1)

Đường thẳng (b) có VTPT n'→( 2 ;m)

Để góc giữa hai đường thẳng a và b bằng 45⁰ thì

Cos45⁰ = 

⇔ |2 + m| = 

⇔ 4 + 4m + m² = 4 + m²

⇔ 4m = 0 ⇔ m = 0

Chọn B

Ví dụ 7: Cho đường thẳng (a): y = 2x + 3 và (b): y = -x + 6. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b)?

A. 1    B. 2    C. 3    D. 4

Lời giải

Gọi α là góc tạo bởi hai đường thẳng (a) và (b).

Đường thẳng (a) có hệ số góc k₁ = 2 và đường thẳng (b) có hệ số góc k₂ = -1.

⇒ Tan của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

Tgα =  = 3

Chọn C.

Ví dụ 8: Cho hai đường thẳng (d₁): y = - 3x + 8 và (d₂) : x + y - 10 = 0. Tính tan của góc tạo bởi hai đường thẳng d₁ và d₂?

A.     B. 1    C. 3    D. 

Lời giải

Đường thẳng (d₁) có hệ số góc k₁ = - 3.

Đường thẳng (d₂) ⇔ y = -x + 10 có hệ số góc k₂ = -1.

⇒ tan của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

tgα = 

Chọn A.

Ví dụ 9: Tính góc giữa hai đường thẳng (a): 3x + y - 2 = 0 và (b): 2x - y + 39 = 0.

A. 30⁰    B. 60⁰    C. 90⁰    D. 45⁰

Hướng dẫn giải

Đường thẳng: 3x + y - 2 = 0có VTPT n→( 3; 1).

Đường thẳng: 2x - y + 39 = 0 có VTPT n→( 2; -1)

cos(a; b) = |cos⁡( n_a→; n_b→ ) |
= 

⇒ ( a; b) = 45⁰

Chọn D.