Viết phương trình đường tròn biết tâm, bán kính, đường kính

A. Phương pháp giải

+ Đường tròn ( C) : tâm I (a; b) và bán kính R có phương trình :

(x - a)² + (y - b)² = R²

+ Cho hai điểm A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B). Để viết phương trình đường tròn đường kính AB ta làm như sau:

- Bước 1: Tìm trung điểm I của AB.

- Bước 2: Tính IA.

- Bước 3: Lập phương trình đường tròn ( C) tâm I và bán kính R = IA.

+ Đường tròn ( C) tâm I và đi qua điểm A

⇒ Đường tròn ( C): tâm I và bán kính R = IA.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(0; 1); B(1; 0) và tâm I nằm trên đường thẳng d: x + y + 2 = 0?

A. x² + y² - 2x + 2y - 1 = 0    B. x² + y² + 2x + 2y - 3 = 0

C. x² + y² + 4x - 3 = 0    D. Tất cả sai

Lời giải

Giả sử phương trình đường tròn ( C): x² + y² - 2ax - 2by + c = 0 ( với a² + b² - c > 0)

Là đường tròn có tâm I(a; b).

+ Do điểm A(0; 1) thuộc đường tròn nên: 0 + 1 - 2b + c = 0 hay – 2b + c = - 1 (1)

+ Do điểm B(1; 0) thuộc đường tròn nên: 1 + 0 - 2a + c = 0 hay -2a + c = -1 (2)

+ Do tâm I thuộc đường thẳng d: x + y + 2 = 0 nên a + b + 2 = 0 (3).

Từ ( 1); (2) và (3) ta có hệ phương trình :

⇒ Phương trình đường tròn cần tìm là:

x² + y² + 2x + 2y - 3 = 0

Chọn B.

Ví dụ 2. Cho hai điểm A( -4; 2) và B(2; -3). Tập hợp điểm M thỏa mãn có phương trình là

A. x² + y² + 2x + 6y + 1= 0.    B. x² + y² - 6x - y + 1 = 0.

C. x² + y² - 2x - 6y – 10 = 0.    D. x² + y² + 2x + y + 1 = 0.

Lời giải

Ta có: MA→(x + 4;y - 2); MB→(x - 2; y + 3)

Theo giả thiết: MA² + MB² = 31

Tương đương : ( x + 4)² + (y - 2)² + (x - 2)² + (y + 3)² = 31

Hay x² + y² + 2x + y + 1 = 0

Chọn D.

Ví dụ 3. Đường tròn tâm I( 3; -2) và bán kính R= 2 có phương trình là

A. ( x + 3)² + (y + 2)² = 2    B. (x - 3)² + (y + 2)² = 4

C. ( x + 3)² + (y - 2)² = 4    D. (x - 3)² + (y - 2)² = 4

Lời giải

Phương trình đường tròn có tâm (3; -2) , bán kính R = 2 là:

(x - 3)² + (y + 2)² = 4

Chọn B.

Ví dụ 4. Đường tròn tâm I( -1; 2) và đi qua điểm M( 2;1) có phương trình là

A. x² + y² + 2x + 4y - 5 = 0.    B. x² + y² + 2x - 4y - 5 = 0.

C. x² + y² + 2x + 4y + 5 = 0.    D. x² + y² - 2x + 4y - 5 = 0.

Hướng dẫn giải

Đường tròn có tâm I( -1; 2) và đi qua M( 2; 1) thì có bán kính là:

R = IM =  = √10

Khi đó có phương trình là: (x + 1)² + ( y - 2)² = 10

Hay x² + y² + 2x - 4y - 5 = 0.

Chọn B.

Ví dụ 5. Cho hai điểm A( 5; -1) và B( -3; 7). Đường tròn có đường kính AB có phương trình là

A. x² + y² - 2x + 6y - 3 = 0.    B. x² +y² - 2x - 6y - 22 = 0

C. x² +y² + 2x + 6y - 3 = 0    D. x² +y² + 2x + 6y - 15 = 0

Hướng dẫn giải

Tâm I của đường tròn là trung điểm của AB nên I( 1;3) .

Bán kính  AB =  = 4√2

Vậy phương trình đường tròn là:

(x - 1)² + (y - 3)² = 32 hay x² +y² - 2x - 6y - 22 = 0

Chọn B.

Ví dụ 6: Lập phương trình đường tròn đi qua điểm A(3; 1); B(5; 5) và tâm I nằm trên trục hoành?

A.(x - 1)² + y² = 16    B. (x - 10)² + y² = 50

C. (x + 1)² + y² = 17    D. (x - 10)² + y² = 50

Lời giải

+ Tâm I của đường tròn nằm trên trục hoành nên I(a; 0).

⇒ Phương trình đường tròn ( C): (x - a)² + y² = R².

+ Điểm A( 3; 1) thuộc (C) nên (3 - a)² + 1² = R² (1).

+ Điểm B( 5; 5) thuộc ( C) nên ( 5 - a)² + 5² = R² ( 2).

Lấy (1) trừ (2); vế trừ vế ta được : 4a - 40 = 0

⇔ 4a = 40 ⇔ a = 10

Thay a = 10 vào (1) ta được: R² = 50.

Vậy phương trình đường tròn ( C): (x - 10)² + y² = 50

Chọn D.

Ví dụ 7. Cho hai điểm A( 5; -1) ; B( -3; 7) . Đường tròn có đường kính AB có phương trình là

A. x² + y² + 2x - 6y - 22 = 0.    B. x² + y² - 2x - 6y - 22 = 0.

C. x² + y² - 2x - y + 1 = 0.    D. Tất cả sai

Lời giải

Tâm I của đường tròn là trung điểm AB nên I( 1; 3) .

Bán kính R =  AB =   = 4√2

Vậy phương trình đường tròn là: (x - 1)² + (y - 3)² = 32

Hay x² + y² - 2x- 6y - 22 = 0.

Chọn B.