A. Phương pháp giải

Cho đường thẳng d: ax + by + c = 0 và hai điểm M( x_M; y_M); N(x_N; y_N) không nằm trên d. Khi đó:

+ Hai điểm M ; N nằm cùng phía đối với đường thẳng d khi và chỉ khi:

( ax_M + by_M + c) .( ax_N + by_N + c) > 0

+ Hai điểm M ; N nằm khác phía đối với đường thẳng d khi và chỉ khi:

( ax_M + by_M + c) .( ax_N + by_N + c) < 0

B. Ví dụ minh họa

• Ví dụ 1: Cho đường thẳng d : 3x - 2y + 2 = 0 và ba điểm A( 1 ; 2) ; B( 2 ; -1) ; C(-1 ; -1) . Hỏi đường thẳng d cắt cạnh nào của tam giác BAC ?

  A. AB    B. BC    C. AC    D. Không cắt cạnh nào

  Lời giải

  Đặt f( x ; y) = 3x - 2y + 2.

  ⇒ f(1 ; 2) = 3.1 - 2.2 + 2 = 1

  f(2; -1) = 3.2 - 2.(-1) + 2 = 10

  f(-1; -1) = 3.(-1) – 2(-1) + 2 = 1

  ⇒ f( 1 ; 2).f( 2 ; -1) > 0 nên hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

  Tương tự ; hai điểm A và C nằm cùng phía so với đường thẳng d.

  Hai điểm B và C nằm cùng phía so với đường thẳng d.

  Vậy đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác ABC.

  Chọn D.

Ví dụ 2: Cho đường thẳng d: 2x - y + 1 = 0 và ba điểm A(0; -3); B( -1; -1) và C(-3; 2) .

Tìm mệnh đề sai?

A. Hai điểm A và C nằm khác phía so với đường thẳng d.

B. Có ít nhất một điểm nằm trên đườngthẳng d.

C. Có không ít hơn hai điểm không thuộc đường thẳng d

D. Hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

Lời giải

Đặt f( x; y) = 2x - y + 1.

    f(0; -3) = 2.0 - (-3) + 1 = 4

    f(-1; -1) = 2.(-1) – (-1) + 1 = 0

    f(-3; 2) = 2.(-3) – 2 + 1 = - 7

Suy ra:

    Hai điểm A và C nằm khác phía so với đường thẳng d.

    Điểm B thuộc đường thẳng d; hai điểm A và C không thuộc đường thẳng d.

⇒ A; B và C đúng ; D sai.

Chọn D.

Ví dụ 3. Cho đường thẳng d: 3x + 4y – 5 = 0 và 2 điểm A( 1; 3) ; B( 2; m) . Tìm m để A và B nằm cùng phía đối với d?

A. m < 0    B. m > -     C. m > 1    D. m = - 

Hướng dẫn giải

Hai điểm A và B nằm về hai phía của đường thẳng d khi và chỉ khi:

( 3 + 12 - 5)(6 + 4m - 5) < 0 hay m > - 

Chọn B.

Ví dụ 4. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x + 4y - 5 = 0 và hai điểm A( 1; 3) và B ( 2; m). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để A và B nằm cùng phía đối với d?

A. m < 0 .    B. m > -     C. m > - 1    D. m = - 

Lời giải

Đặt f( x; y) = 3x + 4y - 5.

Để hai điểm A và B nằm cùng phía đối với d khi và chỉ khi:

f(A).f( B) > 0 ⇔ ( 3.1 + 4.3 - 5).( 3.2 + 4.m - 5) > 0

⇔ 10.( 1 + 4m) > 0 ⇔ 1 + 4m > 0 ⇔ m > - 

Chọn B.

Ví dụ 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 4x - 7y + m = 0 và hai điểm A( 1; 2) và B(-3; 4). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để d và đoạn thẳng AB có điểm chung.

A. 10 ≤ m ≤ 40    B. m > 40 hoặc m < 10    C. 10 < m < 40    D. m < 10

Lời giải

Đoạn thẳng AB và d: 4x - 7y + m = 0 có điểm chung khi và chỉ khi

Điểm A( hoặc điểm B) thuộc đường thẳng d hoặc hai điểm A và B nằm khác phía so với đường thẳng d.

+ Nếu A thuộc đường thẳng d thì: 4.1 - 7.2 + m = 0 ⇔ m = 10.

+ Nếu điểm B thuộc đường thẳng d thì: 4.(-3) – 7. 4 + m = 0 ⇔ m = 40.

+ Nếu hai điểm A và B nằm khác phía so với đường thẳng d khi đó đoạn thẳng AB sẽ cắt đường thẳng d.

⇒ ( 4x_A - 7y_A + m) .( 4x_B - 7y_B + m) < 0

⇔ ( m - 10) .( m - 40) < 0 ⇔ 10 < m < 40.

Kết hợp các trường hợp, vậy để đường thẳng d có điểm chung với đoạn thẳng AB thì
10 ≤ m ≤ 40.

Chọn A.

Ví dụ 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d:  và hai điểm A(1; 2) ; B(-2; m). Tìm tất cả các giá trị của tham số m để A và B nằm cùng phía đối với d?

A. m > 13    B. m ≥ 13    C. m < 13    D. m = 13

Lời giải

Ta đưa đường thẳng d về dạng tổng quát

(d) 

⇒ Phương trình (d) : 3( x - 2) + 1.(y - 1) = 0

Hay ( d) : 3x + y - 7 = 0

Khi đó để hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d khi và chỉ khi :

(3x_A + y_A - 7)(3x_B + y_B - 7) > 0 ⇔ -2(m - 13) > 0 ⇔ m < 13.

Chọn C.

Ví dụ 7: Cho đường thẳng d: x+ 2y- 10 =0 và hai điểm A( 1; -3) và B( 5;-4) . Chọn mệnh đề đúng :

A. Hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

B. Hai điểm A và B nằm khác phía so với đường thẳng d.

C. Có một điểm nằm trên đường thẳng d.

D. Khoảng cách hai điểm AB là 5.

Lời giải

Đặt f( x; y) = x + 2y - 10.

+ Ta có f(1; -3) = 1 + 2.(-3) - 10 = -15

Và f( 5; -4) = 5 + 2.(-4) - 10 = - 13

⇒ f( 1; -3) . f( 5; -4) > 0

⇒ Hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

+ Khoảng cách hai điểm A và B là: AB = 

Chọn A.

C. Bài tập vận dụng

• Câu 1: Cho đường thẳng d: 4x - y + 9 = 0 và ba điểm A( 1; 0); B( -2; 1) và C(-3; 7). Hỏi đường thẳng d cắt cạnh nào của tam giác.

  A. AB    B. AC    D. BC    D. Cả ba cạnh.

Câu 2: Cho đường thẳng d: 3x - 5y + 1 = 0 và hai điểm A( 0; -2); B( 3; 2). Tìm mệnh đề sai.

A. Hai điểm A và B nằm cùng phía so với đường thẳng d.

B. Khoảng cách hai điểm A và B là AB = 5.

C. Đoạn thẳng AB cắt đường thẳng d.

D. Có ít nhất một điểm thuộc đường thẳng d

Câu 3: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d:  và hai điểm A( 1; 2); B( -3; 4) . Tìm m để d cắt đoạn thẳng AB.

A. m < 3    B. m = 3    C. m > 3    D. Không tồn tại m.

Câu 4: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A( 1; 3);B( - 2; 4) và C(-1; 5) . Đường thẳng d: 2x - 3y + 6 = 0 cắt cạnh nào của tam giác đã cho?

A. Cạnh AC.    B. Cạnh AB.    C. Cạnh BC.    D. Không cạnh nào.

Câu 5: Cho đường thẳng d: x - 5y + 1 = 0 và ba điểm A( 0; -2), B( 1; -3); C(-4; 2). Hỏi đường thẳng d cắt mấy cạnh của tam giác ABC?

A. 0    B. 1    C. 2    D. 3

Câu 6: Cho đường thẳng d: 3x - 4y + 12 = 0 và hai điểm A( -2; 3); B( 3m; -2). Tìm m để đoạn thẳng AB có điểm chung với đường thẳng d.

Câu 7: Cho đường thẳng d: 7x - y + 2 = 0 và hai điểm A( 1; -3) và B ( 2m; m + 1). Tìm điều kiện của m để đoạn thẳng AB có điểm chung với đường thẳng d?

A. m ≤     B. m <     C. m ≥     D. m = 

Câu 8: Cho đường thẳng d: 4x - y + 3 = 0 và ba điểm A( -2; 3); B(m + 1; -m - 2);
C( 2m; m + 1). Tìm điều kiện của m để đường thẳng d không cắt cạnh nào của tam giác?

A. m > -     B. m < -     C. m >     D. m <