Bài 10: Tính chất chia hết của một tổng

A. Lý thuyết

1. Nhắc về quan hệ chia hết

Số tự nhiên a chia hết cho số tự nhiên b khác 0 nếu có số tự nhiên k sao cho a = b.k

   + Kí hiệu a chia hết cho b là 

   + Kí hiệu a không chia hết cho b là 

Ví dụ:

   + 4 chia hết cho 2, kí hiệu là: 

   + 4 không chia hết cho 3, kí hiệu là: 

2. Tính chất 1

Nếu  và  thì 

   + Kí hiệu "⇒" được đọc là suy ra hoặc kéo theo.

   + Ta có thể viết  hoặc  đều được.

Chú ý:

• Tính chất 1 cũng đúng đối với một hiệu

• Tính chất 1 cũng đúng với một tổng nhiều số hạng

Tổng quát: Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

Ví dụ:

   + Ta có: 

   + Ta có: 

   + Ta có: 

3. Tính chất 2

Nếu  và  thì 

Nếu  và  thì 

   + Kí hiệu "⇒" được đọc là suy ra hoặc kéo theo.

   + Ta có thể viết  hoặc  đều được.

Chú ý:

• Tính chất 2 cũng đúng đối với một hiệu

• Tính chất 2 cũng đúng với một tổng nhiều số hạng, trong đó chỉ có một số hạng không chia hết cho m, các số hạng còn lại đều chia hết cho m:

Tổng quát: Nếu chỉ có một số hạng của tổng không chia hết cho một số , còn các số hạng còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng đó không chia hết cho số đó.

Ví dụ:

   + Ta có: 

   + Ta có: 

   + Ta có: 

4. Bài tập tự luyện

Câu 1: Cho ba số tự nhiên a, b, c trong đó a và b là các số chia cho 5 dư 3 còn c là số chia cho 5 dư 2. Chứng minh rằng mỗi tổng hoặc hiệu: a + c; a - b chia hết cho 5

Hướng dẫn giải:

Theo bài ra ta có: a chia cho 5 dư 3 nên a có dạng: a = 5q + 3 (q ∈ N)

Tương tự b chia cho 5 dư 3 nên b có dạng: b = 5p + 3 (p ∈ N)

c chia cho 5 dư 2 nên c có dạng: c = 5m + 2 (m ∈ N)

Xét a + c = (5q + 3) + (5m + 2)

⇔ a + c = 5(q + m) + (3 + 2)

⇔ a + c = 5(q + m) + 5

Ta thấy 5(q + m) ⋮ 5 và 5 ⋮ 5 nên a + c chia hết cho 5.

Tương tự ta có: a - b = (5q + 3) - (5p + 3)

⇔ a - b = 5 (q - p)

Ta thấy 5(q - p) ⋮ 5 nên a - b chia hết cho 5.

Câu 2: Tìm số tự nhiên x sao cho 215 + x chia hết cho 11.

Hướng dẫn giải:

Ta có: 215 chia cho 11 được thương là 19 dư 6 nên 215 = 19.11 + 6

Khi đó ta có: 215 + x = 11.19 + 6 + x

Có 19.11 chia hết cho 11 nên 215 + x chia hết cho 11 khi 6 + x chia hết cho 11.

Suy ra x là số chia cho 11 dư 5 nên x có dạng là x = 11q + 5 (q ∈ N)

Vậy x cần tìm có dạng là x = 11q + 5 (q ∈ N) thì 215 + x chia hết cho 11.

B. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Nếu a không chia hết cho 2 và b chia hết cho 2 thì tổng a + b

A. Chia hết cho 2

B. Không chia hết cho 2

C. Có tận cùng là chữ số 2.

D. Có tận cùng là 1; 3; 5; 7; 9

Câu 2: Tổng nào sau đây chia hết cho 7

A. 49 + 70     B. 14 + 51     C. 7 + 134     D. 10 + 16

Câu 3: Nếu x ⋮ 2 và y ⋮ 4 thì tổng x + y chia hết cho?

A. 2     B. 4     C. 8     D. Không xác định

Câu 4: Nếu x ⋮ 12 và y ⋮ 8 thì x - y chia hết cho

A. 6     B. 3     C. 4     D. 12

Câu 5: Chọn câu sai

A. 49 + 105 + 399 chia hết cho 7

B. 84 + 48 + 120 không chia hết cho 8

C. 18 + 54 + 12 chia hết cho 9

D. 18 + 54 + 15 không chia hết cho 9

Câu 6: Có tổng M = 75 + 120 + x. Với giá trị nào của x dưới dây thì M ⋮ 3?

A. x = 7     B. x = 5     C. x = 4     D. x = 12

Câu 7: Tìm số tự nhiên x để A = 75 + 1003 + x chia hết cho 5

A. x ⋮ 5     B. x chia cho 5 dư 1

C. x chia cho 5 dư 2     D. x chia cho 5 dư 3

Câu 8: Cho A = 12 + 15 + 36 + x, x ∈ ℕ. Tìm điều kiện của x để A không chia hết cho 9.

A. x chia hết cho 9     B. x không chia hết cho 9

C. x chia hết cho 4     D. x chia hết cho 3

Câu 9: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A. Nếu mỗi số hạng của tổng chia hết cho 7 thì tổng chia hết cho 7.

B. Nếu mỗi số hạng không chia hết cho 7 thì tổng không chia hết cho 7.

C. Nếu tổng của hai số chia hết cho 5 và một trong hai số đó chia hết cho 5 thì số còn lại chia hết cho 5.

D. Nếu hiệu của hai số chia hết cho 5 và một trong hai số đó chia hết cho 5 thì số còn lại chia hết cho 5.

Câu 10: Khi chia số tự nhiên a cho 12, ta được số dư là 8. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. a chia hết cho 6

B. a chia hết cho 4

C. a chia hết cho 3

D. Cả A, B, C đều đúng