Để giải bài toán này, chúng ta cần lưu ý rằng đẳng thức trên đúng dưới dạng vectơ:
$\vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC} + \vec{SD} = 4\vec{SO}$
(Nếu là độ dài đoạn thẳng thông thường, đẳng thức $SA + SB + SC + SD = 4SO$ sẽ không đúng với mọi điểm $S$).
Dưới đây là hai cách chứng minh hình học vectơ rất đơn giản và chuẩn xác:
### Cách 1: Sử dụng tính chất trung điểm (Khuyên dùng)
Vì đáy $ABCD$ là hình bình hành tâm $O$, nên $O$ chính là trung điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$.
`***`Xét tam giác $SAC$ có $O$ là trung điểm của $AC$. Theo tính chất đường trung tuyến bằng vectơ, với mọi điểm $S$ ta luôn có:
$\vec{SA} + \vec{SC} = 2\vec{SO} \quad (1)$
`***`Xét tam giác $SBD$ có $O$ là trung điểm của $BD$. Tương tự, ta có:
$\vec{SB} + \vec{SD} = 2\vec{SO} \quad (2)$
Cộng vế theo vế của $(1)$ và $(2)$, ta được:
$\vec{SA} + \vec{SB} + \vec{SC} + \vec{SD} = 2\vec{SO} + 2\vec{SO} = 4\vec{SO}$
(Điều phải chứng minh)
### Cách 2: Phân tích vectơ bằng phép chèn điểm $O$
Ta có thể biến đổi vế trái (VT) bằng cách chèn điểm $O$ vào từng vectơ:
`***`$\vec{SA} = \vec{SO} + \vec{OA}$
`***`$\vec{SB} = \vec{SO} + \vec{OB}$
`***`$\vec{SC} = \vec{SO} + \vec{OC}$
`***`$\vec{SD} = \vec{SO} + \vec{OD}$
Cộng cả 4 đẳng thức trên lại:
$\text{VT} = 4\vec{SO} + (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD})$
Vì $O$ là tâm của hình bình hành $ABCD$ (đối xứng qua $O$):
`***`$O$ là trung điểm $AC \Rightarrow \vec{OA} + \vec{OC} = \vec{0}$
`***`$O$ là trung điểm $BD \Rightarrow \vec{OB} + \vec{OD} = \vec{0}$
Do đó: $\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC} + \vec{OD} = \vec{0}$
Suy ra:
$\text{VT} = 4\vec{SO} + \vec{0} = 4\vec{SO} = \text{VP}$
(Điều phải chứng minh)