Bài toán cho tam giác ���ABC với �,�,�E,F,K lần lượt là trung điểm các cạnh ��,��,��AB,AC,BC.
Phương trình các đoạn thẳng nối các trung điểm:��:�−�+3=0EF:x−y+3=0
��:3�+2�−6=0FK:3x+2y−6=0
��:8�−3�−16=0KE:8x−3y−16=0
Mục tiêu: Viết phương trình 3 cạnh của tam giác ���ABC.

Bước 1: Nhận xét về tam giác trung điểm
�,�,�E,F,K là trung điểm các cạnh ��,��,��AB,AC,BC.
Tam giác ���EFK là tam giác trung điểm của tam giác ���ABC.
Theo tính chất tam giác trung điểm, tam giác ���EFK là tam giác đồng dạng với tam giác ���ABC với tỉ lệ 1:21:2.
Các đoạn thẳng ��,��,��EF,FK,KE song song với các cạnh ��,��,��BC,AB,AC tương ứng.
Cụ thể:

��∥��EF∥BC
��∥��FK∥AB
��∥��KE∥AC

Bước 2: Viết phương trình các cạnh tam giác ���ABC
Vì ��∥��EF∥BC, phương trình ��BC có dạng �−�+�1=0x−y+c1​=0.
Vì ��∥��FK∥AB, phương trình ��AB có dạng 3�+2�+�2=03x+2y+c2​=0.
Vì ��∥��KE∥AC, phương trình ��AC có dạng 8�−3�+�3=08x−3y+c3​=0.

Bước 3: Tìm các hệ số �1,�2,�3c1​,c2​,c3​
Tam giác ���EFK là tam giác trung điểm, nên tọa độ các điểm �,�,�E,F,K là trung điểm các cạnh ��,��,��AB,AC,BC.
Do đó, điểm �E nằm trên cạnh ��AB, nên �E thỏa mãn phương trình ��AB.
Tương tự, �F nằm trên ��AC, �K nằm trên ��BC.
Vì �E là trung điểm ��AB, nên �E nằm trên ��AB và ��EF.
Vì �F là trung điểm ��AC, nên �F nằm trên ��AC và ��EF.
Vì �K là trung điểm ��BC, nên �K nằm trên ��BC và ��FK.

Bước 4: Tìm giao điểm �,�,�E,F,K từ các phương trình đoạn thẳng trung bình
�=��∩��E=AB∩KE
�=��∩��F=AC∩EF
�=��∩��K=BC∩FK
Nhưng ta chưa biết phương trình các cạnh ��,��,��AB,AC,BC, nên ta sẽ dùng cách khác.

Bước 5: Sử dụng tính chất trung điểm
Gọi tọa độ �=(��,��),�=(��,��),�=(��,��)A=(xA​,yA​),B=(xB​,yB​),C=(xC​,yC​).
Trung điểm:

�=(��+��2,��+��2)E=(2xA​+xB​​,2yA​+yB​​)
�=(��+��2,��+��2)F=(2xA​+xC​​,2yA​+yC​​)
�=(��+��2,��+��2)K=(2xB​+xC​​,2yB​+yC​​)
Phương trình ��EF đi qua �,�E,F:

Đã cho: ��:�−�+3=0EF:x−y+3=0
Phương trình ��FK đi qua �,�F,K:

Đã cho: ��:3�+2�−6=0FK:3x+2y−6=0
Phương trình ��KE đi qua �,�K,E:

Đã cho: ��:8�−3�−16=0KE:8x−3y−16=0

Bước 6: Tìm tọa độ �,�,�E,F,K bằng cách giải hệ phương trình
�,�E,F thuộc ��:�−�+3=0EF:x−y+3=0
�,�F,K thuộc ��:3�+2�−6=0FK:3x+2y−6=0
�,�K,E thuộc ��:8�−3�−16=0KE:8x−3y−16=0
Tìm �=��∩��E=EF∩KE:

{�−�+3=08�−3�−16=0{x−y+3=08x−3y−16=0​
Từ phương trình đầu: �=�+3y=x+3
Thay vào phương trình thứ hai:

8�−3(�+3)−16=0⇒8�−3�−9−16=0⇒5�−25=0⇒�=58x−3(x+3)−16=0⇒8x−3x−9−16=0⇒5x−25=0⇒x=5
Khi đó:

�=5+3=8y=5+3=8
Vậy �=(5,8)E=(5,8).

Tìm �=��∩��F=EF∩FK:

{�−�+3=03�+2�−6=0{x−y+3=03x+2y−6=0​
Từ phương trình đầu: �=�+3y=x+3
Thay vào phương trình thứ hai:

3�+2(�+3)−6=0⇒3�+2�+6−6=0⇒5�=0⇒�=03x+2(x+3)−6=0⇒3x+2x+6−6=0⇒5x=0⇒x=0
Khi đó:

�=0+3=3y=0+3=3
Vậy �=(0,3)F=(0,3).

Tìm �=��∩��K=FK∩KE:

{3�+2�−6=08�−3�−16=0{3x+2y−6=08x−3y−16=0​
Giải hệ:

Từ phương trình đầu: 3�+2�=6⇒2�=6−3�⇒�=6−3�23x+2y=6⇒2y=6−3x⇒y=26−3x​
Thay vào phương trình thứ hai:

8�−3⋅6−3�2−16=0⇒8�−18−9�2−16=08x−3⋅26−3x​−16=0⇒8x−218−9x​−16=0
16�−(18−9�)−32=0(nhaˆn cả hai veˆˊ với 2)16x−(18−9x)−32=0(nhaˆn cả hai veˆˊ với 2)
16�−18+9�−32=0⇒25�−50=0⇒�=216x−18+9x−32=0⇒25x−50=0⇒x=2
Khi đó:

�=6−3⋅22=6−62=0y=26−3⋅2​=26−6​=0
Vậy �=(2,0)K=(2,0).