Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Lời giải
Ta có: a²+ b²= k(ab + 1)
Không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b.
* Trường hợp 1: a = b.
Khi đó: $k = \frac{2 a^{2}}{2 a + 1} = 2 - \frac{2}{a^{2} + 1}$
Vì k là số nguyên nên:
+ Nếu a = 1, ta có k = 1.
+ Nếu a ≥ 2, ta có 1< k < 2, vô lý.
Vậy k = 1, là số chính phương.
* Trường hợp 2: a > b.
- Xem phương trình ban đầu như một phương trình bậc hai theo a: x²− kbx + (b²− k) = 0
- Một nghiệm là x = a. Theo định lý Viète, nghiệm còn lại là: a′ = kb − a
- Do đó a′ là số nguyên. Ta xét hai khả năng:
+ Nếu k ≥ b²:
Từ: a(a − kb) = b²− ka(a − kb) = b²− k
Ta có a ≥ kb ≥ b³.
Mặt khác: $k = \frac{a^{2} + b^{2}}{a b + 1}$
Do a ≥ b³, suy ra: $k - \frac{a}{b} = \frac{b (a^{2} - b^{2}) - a (a b - 1)}{b (a b + 1)} = \frac{b^{3} - a}{b (a b + 1)} \leq 0$
Vậy k ≤ a/b.

Kết hợp với a ≥ kb, ta được: a = kb, k = b².
Suy ra k = b², là số chính phương. Nếu k < b²:
Ta có: aa′ = b²− k > 0
Suy ra a′ > 0.

Đồng thời: a′ = $\frac{b^{2} - k}{a} < \frac{b^{2}}{a} < b$
Vậy 0 < a′ < b <a.

Theo định nghĩa của a′, ta có: a′²+ b²= k(a′b + 1).
Như vậy, cặp số nguyên dương (a′,b) cũng thỏa mãn đề bài, nhưng có tổng nhỏ hơn a + b. Ta có thể lặp lại quá trình này. Vì tổng hai số nguyên dương luôn giảm và không thể giảm vô hạn, cuối cùng ta sẽ thu được một cặp có hai số bằng nhau.
- Theo trường hợp 1, khi hai số bằng nhau thì k = 1.
- Tuy nhiên, k không thay đổi trong suốt quá trình nhảy Vieta. Do đó, k = 1là số chính phương.

Kết luận: Trong mọi trường hợp, ta đều có: k = n²(n ∈ Z) (đpcm)

...Xem thêm

Answer 2

Lời giải
Ta có: a²+ b²= k(ab + 1)
Không mất tính tổng quát, giả sử a ≥ b.
* Trường hợp 1: a = b.
Khi đó: $k = \frac{2 a^{2}}{2 a + 1} = 2 - \frac{2}{a^{2} + 1}$
Vì k là số nguyên nên:
+ Nếu a = 1, ta có k = 1.
+ Nếu a ≥ 2, ta có 1< k < 2, vô lý.
Vậy k = 1, là số chính phương.
* Trường hợp 2: a > b.
- Xem phương trình ban đầu như một phương trình bậc hai theo a: x²− kbx + (b²− k) = 0
- Một nghiệm là x = a. Theo định lý Viète, nghiệm còn lại là: a′ = kb − a
- Do đó a′ là số nguyên. Ta xét hai khả năng:
+ Nếu k ≥ b²:
Từ: a(a − kb) = b²− ka(a − kb) = b²− k
Ta có a ≥ kb ≥ b³.
Mặt khác: $k = \frac{a^{2} + b^{2}}{a b + 1}$
Do a ≥ b³, suy ra: $k - \frac{a}{b} = \frac{b (a^{2} - b^{2}) - a (a b - 1)}{b (a b + 1)} = \frac{b^{3} - a}{b (a b + 1)} \leq 0$
Vậy k ≤ a/b.

Kết hợp với a ≥ kb, ta được: a = kb, k = b².
Suy ra k = b², là số chính phương. Nếu k < b²:
Ta có: aa′ = b²− k > 0
Suy ra a′ > 0.

Đồng thời: a′ = $\frac{b^{2} - k}{a} < \frac{b^{2}}{a} < b$
Vậy 0 < a′ < b <a.

Theo định nghĩa của a′, ta có: a′²+ b²= k(a′b + 1).
Như vậy, cặp số nguyên dương (a′,b) cũng thỏa mãn đề bài, nhưng có tổng nhỏ hơn a + b. Ta có thể lặp lại quá trình này. Vì tổng hai số nguyên dương luôn giảm và không thể giảm vô hạn, cuối cùng ta sẽ thu được một cặp có hai số bằng nhau.
- Theo trường hợp 1, khi hai số bằng nhau thì k = 1.
- Tuy nhiên, k không thay đổi trong suốt quá trình nhảy Vieta. Do đó, k = 1là số chính phương.

Kết luận: Trong mọi trường hợp, ta đều có: k = n²(n ∈ Z) (đpcm)

Answer 3

tôi chỉ có gợi ý thôi bằng hữu:

Gợi ý từng bước:

Nhân hai vế của đề bài để khử mẫu, sau đó chuyển tất cả về một vế.
Xem biểu thức thu được là phương trình bậc hai theo aa.
Áp dụng định lý Viète để tìm nghiệm thứ hai của phương trình.
Chứng minh nghiệm thứ hai đó vẫn là số nguyên dương.
Sử dụng nguyên lý số nguyên dương nhỏ nhất để tìm mối quan hệ giữa hai nghiệm.
Từ mối quan hệ vừa tìm được, suy ra k là số chính phương.
Tóm LẠi: Định lý Viète và phương pháp phản chứng.

Answer 4

Gợi ý từng bước:

Nhân hai vế của đề bài để khử mẫu, sau đó chuyển tất cả về một vế.
Xem biểu thức thu được là phương trình bậc hai theo aa.
Áp dụng định lý Viète để tìm nghiệm thứ hai của phương trình.
Chứng minh nghiệm thứ hai đó vẫn là số nguyên dương.
Sử dụng nguyên lý số nguyên dương nhỏ nhất để tìm mối quan hệ giữa hai nghiệm.
Từ mối quan hệ vừa tìm được, suy ra k là số chính phương.
Tóm LẠi: Định lý Viète và phương pháp phản chứng.

3 câu trả lời 92

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 7