Bài toán cho:
Tam giác \(ABC\), \(AD\) là phân giác trong của góc \(A\) (\(D \in BC\)).
Trên tia đối của tia \(CA\) lấy điểm \(E\) sao cho \(CE = CA\) (tức là \(C\) là trung điểm của \(AE\)).
\(ED\) cắt \(AB\) tại \(M\).

a) Tính tỉ số \(\frac{BD}{CD}\)
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác \(ABC\), đường phân giác \(AD\) của góc \(A\) chia cạnh đối diện \(BC\) thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề hai đoạn thẳng đó.
Do đó, ta có ngay tỉ số:
\(\frac{\mathbf{BD}}{\mathbf{CD}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{AC}}\)

b) Tính tỉ số \(\frac{AM}{AE}\)
Để tính tỉ số \(\frac{AM}{AE}\), chúng ta có thể áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \(ABC\) với cát tuyến \(M, D, E\) thẳng hàng.
Áp dụng định lý Menelaus cho \(\triangle ABC\) với 3 điểm \(M, D, E\) thẳng hàng:
\(\frac{AM}{MB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1\)
Thay các tỉ số đã biết vào phương trình:Từ câu (a), ta có: \(\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}\)
Theo giả thiết, \(CE = CA\) và \(E\) nằm trên tia đối của \(CA\), do đó \(AE = AC + CE = 2AC\). Từ đây suy ra: \(\frac{CE}{EA} = \frac{AC}{2AC} = \frac{1}{2}\)

Thay vào biểu thức Menelaus:
\(\frac{AM}{MB}\cdot \frac{AB}{AC}\cdot \frac{1}{2}=1\implies \frac{AM}{MB}\cdot \frac{AB}{2AC}=1\implies \frac{AM}{MB}=\frac{2AC}{AB}\)
Biến đổi để tìm tỉ số \(\frac{AM}{AB}\):
Ta có \(AB = AM + MB \implies MB = AB - AM\). Thay vào biểu thức trên:
\(\frac{AM}{AB-AM}=\frac{2AC}{AB}\)
\(AM\cdot AB=2AC\cdot (AB-AM)\)
\(AM\cdot AB=2AC\cdot AB-2AC\cdot AM\)
\(AM\cdot (AB+2AC)=2AC\cdot AB\)
\(\implies \frac{AM}{AB}=\frac{2AC}{AB+2AC}\)
Tính tỉ số \(\frac{AM}{AE}\):
Vì \(AE = 2AC\), ta có thể thay \(2AC = AE\) vào biểu thức:
\(\frac{AM}{AB}=\frac{AE}{AB+AE}\implies \frac{\mathbf{AM}}{\mathbf{AE}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{AB+AE}}\)

Hoặc một cách viết khác theo các cạnh ban đầu của tam giác \(ABC\) (chia cả tử và mẫu cho \(2\)):
\(\frac{\mathbf{AM}}{\mathbf{AE}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{AB+2AC}}\)

a) Tính tỉ số BDCDCDBD​
Lazi
Xét tam giác ABCABC, ta có ADAD là tia phân giác của góc BAC^BAC (DD thuộc cạnh BCBC).

Hoc24.vn
 
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có tỉ số độ dài các đoạn thẳng tương ứng:

Lazi
 

BDCD=ABACCDBD​=ACAB​
b) Tính tỉ số AMAEAEAM​
Lazi
Để tính tỉ số này, chúng ta có thể sử dụng định lý Menelaus hoặc phương pháp dựng đường thẳng song song (phương pháp quen thuộc ở chương trình lớp 8). Dưới đây là cách sử dụng đường phụ song song rất dễ hiểu:

Lazi
 

Dựng hình phụ:

Qua điểm CC, kẻ đường thẳng song song với ABAB, cắt đường thẳng EDED tại điểm FF (hoặc kẻ đường thẳng song song với EDED tùy ý, nhưng dựng đường thẳng qua CC song song với ABAB cắt EDED tại một điểm rất thuận lợi).
Cách giải khác ngắn gọn hơn bằng định lý Menelaus cho tam giác ABEABE với đường thẳng MDCMDC:

Xét tam giác ABEABE, đường thẳng MDCMDC cắt các đường thẳng chứa các cạnh AB,BE,EAAB,BE,EA tại các điểm M,D,CM,D,C.
Theo định lý Menelaus, ta có:

Lazi
 

AMMB⋅BEDC⋅CEEA=1MBAM​⋅DCBE​⋅EACE​=1
Tuy nhiên, nếu ở cấp độ lớp 8 chưa học Menelaus, ta áp dụng hệ quả của định lý Thales qua việc kẻ đường phụ:

Qua CC kẻ đường thẳng song song với ABAB cắt EMEM tại II (hoặc FF).
Vì CI∥ABCI∥AB, áp dụng hệ quả định lý Thales trong tam giác EMBEMB và △EAM△EAM, ta có các tỉ số đồng dạng.
Kết hợp với giả thiết CE=CACE=CA (nên CC là trung điểm của đoạn AEAE, tức là ACAE=12AEAC​=21​ hoặc CEAE=12AECE​=21​), ta suy ra mối quan hệ tỉ lệ đoạn thẳng.
(Lưu ý: Tùy thuộc vào cách trình bày trên lớp theo sách giáo khoa, tỉ số AMAEAEAM​ thường sẽ ra một hằng số cụ thể hoặc biểu thức phụ thuộc vào các đoạn thẳng đã cho, thông thường trong các bài tập dạng này kết quả tỉ số là một hằng số dựa trên tính chất cân đối của hình học tam giác).

Nếu bài toán có thêm số liệu cụ thể về độ dài các cạnh, bạn cứ nhắn lại để mình tính ra con số chính xác nhất cho bạn nhé!