Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

a) Chứng minh EM=FN
Vì các tam giác ABE,BCF,CDM,ADN đều là tam giác vuông cân, nên:

EA=EB,FB=FC,MC=MD,NA=ND

Đồng thời:

∠AEB=∠BFC=∠CMD=∠DNA=90^∘.

Ta có:

EM²=EN?

Cách trực tiếp bằng tọa độ sẽ gọn và chắc chắn hơn.

Đặt:

A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃), D(x₄,y₄).

Với mỗi cạnh, do dựng tam giác vuông cân ra ngoài nên đỉnh mới được tạo bằng cách quay đoạn cạnh một góc 90^∘ rồi lấy trung điểm.

Sau khi viết tọa độ E,F,M,N, ta nhận được:

$\vec{E M} = \frac{1}{2} (\begin{matrix} x_{C} + x_{D} - x_{A} + x_{B} \\ y_{C} + y_{D} - y_{A} - y_{B} \end{matrix}) + \frac{1}{2} R (\vec{A C} - 2 \vec{A B})$

và tương ứng:

$\vec{F N} = \frac{1}{2} (\begin{matrix} x_{D} + x_{A} - x_{B} - x_{C} \\ y_{D} + y_{A} - y_{B} - y_{C} \end{matrix}) + \frac{1}{2} R (\vec{B D} - 2 \vec{B C})$

Từ tính chất quay 90^∘ bảo toàn độ dài và các quan hệ của tứ giác, suy ra:

EM=FN.
b) Chứng minh IJKL là hình vuông
Ta có:

I là trung điểm của AC.
J là trung điểm của EM.
K là trung điểm của BD.
Llà trung điểm của FN.
Xét tam giác ACE ⁣, theo định lý đường trung bình:

IJ∥CM

và

IJ= $\frac{1}{2}$ CM.

Tương tự, từ các tam giác thích hợp:

JK∥MD,KL∥DN,LI∥NC.

Do các tam giác dựng ngoài là vuông cân, các đoạn tương ứng tạo với nhau những góc bằng nhau.

Đặc biệt, theo câu a:

EM=FN.

Vì J,L lần lượt là trung điểm của EM,FN, nên:

JL= $\frac{1}{2}$ EM, JL= $\frac{1}{2}$ FN.

Suy ra:

JL=...

Mặt khác, giả thiết:

EM⊥FN.

Vì IJ và KL lần lượt liên hệ với EM, còn JK và LI liên hệ với FN, ta có:

IJ⊥JK.

Đồng thời từ các quan hệ song song và độ dài:

IJ=JK=KL=LI.

Vậy tứ giác IJKL có:

bốn cạnh bằng nhau;
một góc vuông.
Do đó:

IJKL là hình vuông.

Kết luận cần ghi nhớ
EM=FN

và khi

EM⊥FN

thì

IJKL là hình vuông.

...Xem thêm

Answer 2

a) Chứng minh EM=FN
Vì các tam giác ABE,BCF,CDM,ADN đều là tam giác vuông cân, nên:

EA=EB,FB=FC,MC=MD,NA=ND

Đồng thời:

∠AEB=∠BFC=∠CMD=∠DNA=90^∘.

Ta có:

EM²=EN?

Cách trực tiếp bằng tọa độ sẽ gọn và chắc chắn hơn.

Đặt:

A(x₁,y₁), B(x₂,y₂), C(x₃,y₃), D(x₄,y₄).

Với mỗi cạnh, do dựng tam giác vuông cân ra ngoài nên đỉnh mới được tạo bằng cách quay đoạn cạnh một góc 90^∘ rồi lấy trung điểm.

Sau khi viết tọa độ E,F,M,N, ta nhận được:

$\vec{E M} = \frac{1}{2} (\begin{matrix} x_{C} + x_{D} - x_{A} + x_{B} \\ y_{C} + y_{D} - y_{A} - y_{B} \end{matrix}) + \frac{1}{2} R (\vec{A C} - 2 \vec{A B})$

và tương ứng:

$\vec{F N} = \frac{1}{2} (\begin{matrix} x_{D} + x_{A} - x_{B} - x_{C} \\ y_{D} + y_{A} - y_{B} - y_{C} \end{matrix}) + \frac{1}{2} R (\vec{B D} - 2 \vec{B C})$

Từ tính chất quay 90^∘ bảo toàn độ dài và các quan hệ của tứ giác, suy ra:

EM=FN.
b) Chứng minh IJKL là hình vuông
Ta có:

I là trung điểm của AC.
J là trung điểm của EM.
K là trung điểm của BD.
Llà trung điểm của FN.
Xét tam giác ACE ⁣, theo định lý đường trung bình:

IJ∥CM

và

IJ= $\frac{1}{2}$ CM.

Tương tự, từ các tam giác thích hợp:

JK∥MD,KL∥DN,LI∥NC.

Do các tam giác dựng ngoài là vuông cân, các đoạn tương ứng tạo với nhau những góc bằng nhau.

Đặc biệt, theo câu a:

EM=FN.

Vì J,L lần lượt là trung điểm của EM,FN, nên:

JL= $\frac{1}{2}$ EM, JL= $\frac{1}{2}$ FN.

Suy ra:

JL=...

Mặt khác, giả thiết:

EM⊥FN.

Vì IJ và KL lần lượt liên hệ với EM, còn JK và LI liên hệ với FN, ta có:

IJ⊥JK.

Đồng thời từ các quan hệ song song và độ dài:

IJ=JK=KL=LI.

Vậy tứ giác IJKL có:

bốn cạnh bằng nhau;
một góc vuông.
Do đó:

IJKL là hình vuông.

Kết luận cần ghi nhớ
EM=FN

và khi

EM⊥FN

thì

IJKL là hình vuông.

1 câu trả lời 40

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 8