Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Bước 1: Xét tính chia hết
Đặt

P = \frac{(x + y) (x y - 2)}{x y + 5}

Ta có:

xy−2=(xy+5)−7.

Do đó

P= $(x + y) \frac{x y - 2}{x y + 5} = (x + y) (1 - \frac{7}{x y + 5})$

Suy ra

P = x + y - \frac{7 (x + y)}{x y + 5}

Để P là số nguyên thì

xy+5∣7(x+y).

Mặt khác,

gcd⁡(xy+5,7)

chỉ có thể là 1 hoặc 7.

Trường hợp 1: 7∤xy+5
Khi đó

xy+5∣x+y.

Nhưng với x,y≥2,

xy+5>x+y

(vì (x−1)(y−1)+4>0), nên không thể xảy ra.

Nếu x=1 hoặc y=1 thì cũng dễ kiểm tra không thỏa.

Vậy trường hợp này loại.

Trường hợp 2: 7∣xy+5
Suy ra

xy+5=7k (k∈Z+).

Khi đó:

xy−2=7(k−1).

Do đó

$P = \frac{(x + y) 7 (k - 1)}{7 k} = \frac{(x + y) (k - 1)}{k}$

Vì P nguyên nên

k∣x+y.

Đặt

x+y=nk,n∈Z⁺.

Khi đó

P=n(k−1).

Vì P là số nguyên tố, nên tích n(k−1) là số nguyên tố. Do đó chỉ có hai khả năng:

TH1: n=1
Khi đó

x+y=k.

Mà xy+5=7k, nên

xy+5=7(x+y).

Suy ra

xy−7x−7y+5=0

(x−7)(y−7)=44.

Các cặp số nguyên dương thích hợp:

(x,y)=(8,51),(9,29),(11,18)

và các cặp đổi chỗ.

Ta cần P=k−1=x+y−1 là số nguyên tố.

(8,51)(8,51): P=58 không nguyên tố.
(9,29)(9,29): P=37, nguyên tố.
(11,18)(11,18): P=28, không nguyên tố.
Vậy nhận:

(9,29),(29,9).

TH2: k−1=1
Suy ra

k=2.

Do đó

xy+5=14⇒xy=9.

Các số nguyên dương có tích bằng 9:

(1,9),(3,3),(9,1).

Kiểm tra:

$(1, 9) : P = \frac{10.7}{14} = 5 (3, 3) : P = \frac{6.7}{14} = 3 (9, 1) : P = 5$

Kết luận
Vậy tất cả các cặp số nguyên dương (x,y) là

(1,9),(9,1),(3,3),(9,29),(29,9).

Tương ứng giá trị số nguyên tố là:

5, 5, 3, 37, 37.

Đáp án:

(x,y)∈{(1,9),(9,1),(3,3),(9,29),(29,9)}.

...Xem thêm

Answer 2

Bước 1: Xét tính chia hết
Đặt

P = \frac{(x + y) (x y - 2)}{x y + 5}

Ta có:

xy−2=(xy+5)−7.

Do đó

P= $(x + y) \frac{x y - 2}{x y + 5} = (x + y) (1 - \frac{7}{x y + 5})$

Suy ra

P = x + y - \frac{7 (x + y)}{x y + 5}

Để P là số nguyên thì

xy+5∣7(x+y).

Mặt khác,

gcd⁡(xy+5,7)

chỉ có thể là 1 hoặc 7.

Trường hợp 1: 7∤xy+5
Khi đó

xy+5∣x+y.

Nhưng với x,y≥2,

xy+5>x+y

(vì (x−1)(y−1)+4>0), nên không thể xảy ra.

Nếu x=1 hoặc y=1 thì cũng dễ kiểm tra không thỏa.

Vậy trường hợp này loại.

Trường hợp 2: 7∣xy+5
Suy ra

xy+5=7k (k∈Z+).

Khi đó:

xy−2=7(k−1).

Do đó

$P = \frac{(x + y) 7 (k - 1)}{7 k} = \frac{(x + y) (k - 1)}{k}$

Vì P nguyên nên

k∣x+y.

Đặt

x+y=nk,n∈Z⁺.

Khi đó

P=n(k−1).

Vì P là số nguyên tố, nên tích n(k−1) là số nguyên tố. Do đó chỉ có hai khả năng:

TH1: n=1
Khi đó

x+y=k.

Mà xy+5=7k, nên

xy+5=7(x+y).

Suy ra

xy−7x−7y+5=0

(x−7)(y−7)=44.

Các cặp số nguyên dương thích hợp:

(x,y)=(8,51),(9,29),(11,18)

và các cặp đổi chỗ.

Ta cần P=k−1=x+y−1 là số nguyên tố.

(8,51)(8,51): P=58 không nguyên tố.
(9,29)(9,29): P=37, nguyên tố.
(11,18)(11,18): P=28, không nguyên tố.
Vậy nhận:

(9,29),(29,9).

TH2: k−1=1
Suy ra

k=2.

Do đó

xy+5=14⇒xy=9.

Các số nguyên dương có tích bằng 9:

(1,9),(3,3),(9,1).

Kiểm tra:

$(1, 9) : P = \frac{10.7}{14} = 5 (3, 3) : P = \frac{6.7}{14} = 3 (9, 1) : P = 5$

Kết luận
Vậy tất cả các cặp số nguyên dương (x,y) là

(1,9),(9,1),(3,3),(9,29),(29,9).

Tương ứng giá trị số nguyên tố là:

5, 5, 3, 37, 37.

Đáp án:

(x,y)∈{(1,9),(9,1),(3,3),(9,29),(29,9)}.

1 câu trả lời 223

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 7