a) Chứng minh tam giác ABD cân
Ta có:

$AB \parallel DC$ (theo giả thiết), suy ra $\widehat{ABD} = \widehat{BDC}$ (hai góc so le trong).
$DB$ là tia phân giác của $\widehat{D}$, suy ra $\widehat{ADB} = \widehat{BDC}$.

Từ hai điều trên, ta suy ra:
$\widehat{ABD} = \widehat{ADB}$
Xét $\triangle ABD$ có $\widehat{ABD} = \widehat{ADB}$, do đó $\triangle ABD$ cân tại $A$. (đpcm)

b) Chứng minh tam giác COD đều
Đặt $\widehat{BDC} = x$. Vì $DB$ là tia phân giác của $\widehat{ADC}$ nên $\widehat{ADC} = 2x$.
Do $ABCD$ là hình thang cân ($AB \parallel DC$) nên hai góc kề đáy bằng nhau:
$\widehat{C} = \widehat{ADC} = 2x$
Xét $\triangle DBC$ vuông tại $B$ (vì $DB \perp BC$), ta có tổng hai góc nhọn bằng $90^\circ$:
$\widehat{BDC} + \widehat{C} = 90^\circ$
$x + 2x = 90^\circ \implies 3x = 90^\circ \implies x = 30^\circ$
Suy ra các góc của hình thang cân là:
$\widehat{ADC} = \widehat{C} = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$
Xét $\triangle COD$ (với $O$ là giao điểm của tia $DA$ và $CB$):

$\widehat{ODC}$ chính là góc $\widehat{ADC} = 60^\circ$.
$\widehat{OCD}$ chính là góc $\widehat{C} = 60^\circ$.

Tam giác $COD$ có hai góc ở đáy bằng $60^\circ$ nên góc còn lại $\widehat{COD} = 180^\circ - 60^\circ - 60^\circ = 60^\circ$.
Vì cả ba góc đều bằng $60^\circ$, $\triangle COD$ là tam giác đều. (đpcm)

a) Chứng minh tam giác ABD cân

Vì $AB \parallel DC$ (đáy hình thang), hai góc so le trong bằng nhau:

$\widehat{ABD} = \widehat{BDC}$
Vì $DB$ là tia phân giác của $\widehat{ADC}$, ta có:

$\widehat{ADB} = \widehat{BDC}$
Từ hai điều trên suy ra:

$\widehat{ABD} = \widehat{ADB}$
Vậy $\Delta ABD$ cân tại $A$ (do có hai góc ở đáy bằng nhau).

b) Chứng minh tam giác COD đều

Từ câu a, $\Delta ABD$ cân tại $A \Rightarrow AB = AD$.
Vì $ABCD$ là hình thang cân ($AB \parallel DC$), hai cạnh bên và hai góc ở đáy bằng nhau:

$AD = BC \quad \text{và} \quad \widehat{ADC} = \widehat{BCD}$
Xét $\Delta BCD$ vuông tại $B$ ($DB \perp BC$):

Do $DB$ là phân giác $\widehat{ADC}$ nên $\widehat{BDC} = \frac{1}{2}\widehat{ADC}$.
Mặc khác, $\widehat{BCD} = \widehat{ADC}$, do đó $\widehat{BDC} = \frac{1}{2}\widehat{BCD}$.
Trong $\Delta BCD$ vuông tại $B$, tổng hai góc nhọn bằng $90^\circ$:

$\widehat{BDC} + \widehat{BCD} = 90^\circ \iff \frac{1}{2}\widehat{BCD} + \widehat{BCD} = 90^\circ \iff \frac{3}{2}\widehat{BCD} = 90^\circ \Rightarrow \widehat{BCD} = 60^\circ$
Lại có $O$ là giao điểm của hai tia $DA$ và $CB$, xét $\Delta COD$:

$ABCD$ là hình thang cân nên $\widehat{ODC} = \widehat{OCD} = \widehat{BCD} = 60^\circ$.
Tam giác có hai góc ở đáy cùng bằng $60^\circ$ thì góc còn lại $\widehat{DOC} = 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ$.
Vậy $\Delta COD$ là tam giác đều.