1. Xác định tính chất tam giác ABC
Ta xét bình phương độ dài các cạnh của tam giác:

AB² = 15² = 225
AC² = 20² = 400
BC² = 25² = 625

Vì 225 + 400 = 625, suy ra AB² + AC² = BC².
Theo định lý Pythagore đảo, tam giác ABC vuông tại A.
2. Tính độ dài các đoạn thẳng BD và CD
Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại D thỏa mãn tỉ lệ:
$\frac{BD}{CD} = \frac{AB}{AC} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$
Từ tỉ lệ thức, ta áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
$\frac{BD}{3} = \frac{CD}{4} = \frac{BD + CD}{3 + 4} = \frac{BC}{7} = \frac{25}{7}$
Từ đó tính được:

BD = $3 \times \frac{25}{7} = \frac{75}{7}\text{ cm}$ (≈ 10,71 cm)
CD = $4 \times \frac{25}{7} = \frac{100}{7}\text{ cm}$ (≈ 14,29 cm)

3. Tính độ dài đường phân giác AD
Vì góc $\widehat{BAC} = 90^\circ$, góc vuông được chia đôi bởi đường phân giác AD nên $\widehat{BAD} = \widehat{CAD} = 45^\circ$.
Áp dụng công thức tính độ dài phân giác trong tam giác vuông:
$AD = \frac{2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(45^\circ)}{AB + AC} = \frac{2 \cdot 15 \cdot 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{15 + 20} = \frac{300\sqrt{2}}{35} = \frac{60\sqrt{2}}{7}\text{ cm}$
(Giá trị xấp xỉ là ≈ 12,12 cm)

Chứng minh tam giác ABC vuông

Xét độ dài ba cạnh:

$AB^2 + AC^2 = 15^2 + 20^2 = 225 + 400 = 625$

$BC^2 = 25^2 = 625$

Vì $AB^2 + AC^2 = BC^2$ nên theo định lý Pitago đảo, tam giác $ABC$ vuông tại $A$.

Tính độ dài các đoạn thẳng BD và CD

Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, $AD$ là phân giác của góc $\widehat{BAC}$ nên:
$\frac{DB}{DC} = \frac{AB}{AC} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}$

Suy ra $DB = \frac{3}{4}DC$ hay $DC = \frac{4}{3}DB$.

Mặt khác, ta có $DB + DC = BC = 25$ cm.

Thay $DC$ vào biểu thức:
$DB + \frac{4}{3}DB = 25 \Rightarrow \frac{7}{3}DB = 25 \Rightarrow DB = \frac{75}{7}\text{ cm} \approx 10{,}71\text{ cm}$

Độ dài đoạn $CD$:
$CD = 25 - \frac{75}{7} = \frac{100}{7}\text{ cm} \approx 14{,}29\text{ cm}$

Tính độ dài đường phân giác AD

Áp dụng công thức tính độ dài đường phân giác trong tam giác $ABC$ vuông tại $A$:
$AD = \frac{2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos\left(\frac{\widehat{A}}{2}\right)}{AB + AC}$

Vì $\widehat{A} = 90^\circ \Rightarrow \frac{\widehat{A}}{2} = 45^\circ \Rightarrow \cos(45^\circ) = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

$AD = \frac{2 \cdot 15 \cdot 20 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{15 + 20} = \frac{300\sqrt{2}}{35} = \frac{60\sqrt{2}}{7}\text{ cm} \approx 12{,}12\text{ cm}$