Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

### 1. Chứng minh MEDF là hình chữ nhật, MFCN là hình vuông.

**Chứng minh MEDF là hình chữ nhật:**

- Ta có hình vuông ABCD, với các đỉnh A, B, C, D lần lượt ở các tọa độ (0, 0), (a, 0), (a, a), (0, a).
- M thuộc đường chéo AC, tức là M có tọa độ (t, t) với 0 ≤ t ≤ a.
- Vẽ ME vuông góc với AD tại E. Do đó, E có tọa độ (0, t).
- Vẽ MF vuông góc với CD tại F. Do đó, F có tọa độ (t, a).

Để chứng minh MEDF là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng các cạnh ME và DF vuông góc với nhau và các cạnh ED và MF cũng vuông góc với nhau.

- ME vuông góc với AD (đường thẳng y = t) và DF vuông góc với CD (đường thẳng x = a).
- Do đó, MEDF là hình chữ nhật.

**Chứng minh MFCN là hình vuông:**

- Nằm trên BC, N có tọa độ (a, n) với 0 ≤ n ≤ a.
- Ta có MF vuông góc với CD, tức là MF = CN.
- Do đó, MFCN là hình vuông vì MF = CN và MF vuông góc với FC.

### 2. Chứng minh tam giác ABE = tam giác DAF, BE vuông góc với AF.

- Ta có ABE và DAF đều là các tam giác vuông tại E và F.
- Để chứng minh ABE = DAF, ta cần chứng minh rằng AB = DA và AE = DF.
- AB = DA = a (cạnh của hình vuông).
- AE = DF = t (đoạn vuông góc từ M đến E và từ M đến F).

Do đó, tam giác ABE = tam giác DAF.

- BE vuông góc với AF vì BE là đường thẳng đứng và AF là đường thẳng nằm ngang.

### 3. Chứng minh tam giác EMF = tam giác BNM và BM, AF, CE đồng quy.

- Ta có EMF và BNM đều là các tam giác vuông tại M và N.
- Để chứng minh EMF = BNM, ta cần chứng minh rằng EM = BN và MF = NM.
- EM = t (đoạn vuông góc từ M đến E) và BN = t (đoạn vuông góc từ B đến N).
- MF = a - t và NM = a - t.

Do đó, tam giác EMF = tam giác BNM.

- BM, AF, CE đồng quy tại điểm M vì BM là đường thẳng từ B đến M, AF là đường thẳng từ A đến F, và CE là đường thẳng từ C đến E.

### Kết luận

Từ các chứng minh trên, ta đã hoàn thành các yêu cầu của bài toán. Hình MEDF là hình chữ nhật, MFCN là hình vuông, tam giác ABE = tam giác DAF, BE vuông góc với AF, và tam giác EMF = tam giác BNM với BM, AF, CE đồng quy.