a) Chứng minh \(EF = \frac{BC}{2}\)
Xét tứ giác \(AEMF\):\(\widehat{A} = 90^\circ\) (do \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\))
\(\widehat{AEM} = 90^\circ\) (do \(ME \perp AB\))
\(\widehat{AFM} = 90^\circ\) (do \(MF \perp AC\))

\(\Rightarrow AEMF\) là hình chữ nhật (tứ giác có 3 góc vuông).
\(\Rightarrow EF = AM\) (hai đường chéo của hình chữ nhật).
Xét tam giác vuông \(ABC\):\(AM\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(BC\) (do \(M\) là trung điểm \(BC\)).
\(\Rightarrow AM = \frac{BC}{2}\).

Kết luận: Vì \(EF = AM\) và \(AM = \frac{BC}{2}\), suy ra \(EF = \frac{BC}{2}\) (đpcm).

b) Chứng minh \(KMFE\) là hình thang cân
Bước 1: Chứng minh \(KMFE\) là hình thangTrong \(\triangle ABC\), \(M\) là trung điểm \(BC\) và \(ME \parallel AC\) (cùng \(\perp AB\)) \(\Rightarrow E\) là trung điểm \(AB\).
Tương tự, \(M\) là trung điểm \(BC\) và \(MF \parallel AB\) (cùng \(\perp AC\)) \(\Rightarrow F\) là trung điểm \(AC\).
\(\Rightarrow EF\) là đường trung bình của \(\triangle ABC\).
\(\Rightarrow EF \parallel BC\). Vì \(K, M \in BC\) nên \(EF \parallel KM\).
\(\Rightarrow TgiácKMFE\) là hình thang.

Bước 2: Chứng minh hai cạnh bên bằng nhauDo \(AEMF\) là hình chữ nhật (chứng minh ở câu a) \(\Rightarrow MF = AE = \frac{AB}{2}\) (1).
Xét \(\triangle AKB\) vuông tại \(K\) (do \(AK \perp BC\)):\(KE\) là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền \(AB\) (do \(E\) là trung điểm \(AB\)).
\(\Rightarrow KE = \frac{AB}{2}\) (2).

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow \) \(KE = MF\).

Kết luận: Hình thang \(KMFE\) có hai cạnh bên bằng nhau (\(KE = MF\)) và không phải hình bình hành (vì \(EF = \frac{BC}{2} \neq KM\)), nên \(KMFE\) là hình thang cân (đpcm).

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

### a) Chứng minh EF = BC/2

1. **Xác định các điểm và độ dài**:
- Gọi \( AB = a \) và \( AC = b \).
- Do tam giác ABC vuông tại A, theo định lý Pythagore, ta có:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
- M là trung điểm của BC, nên:
\[
BM = MC = \frac{BC}{2}
\]

2. **Kẻ đường vuông góc**:
- Kẻ ME vuông góc với AB tại E, và MF vuông góc với AC tại F.
- Do ME vuông góc với AB, nên tam giác ABE vuông tại E.
- Tương tự, MF vuông góc với AC, nên tam giác ACF vuông tại F.

3. **Sử dụng tính chất của tam giác vuông**:
- Trong tam giác ABE, theo định lý Pythagore:
\[
AE^2 + BE^2 = AB^2
\]
- Trong tam giác ACF:
\[
AF^2 + CF^2 = AC^2
\]

4. **Tính EF**:
- Ta có \( EF = ME + MF \).
- Vì M là trung điểm của BC, nên \( ME = \frac{BC}{2} \) và \( MF = \frac{BC}{2} \).
- Do đó:
\[
EF = ME + MF = \frac{BC}{2} + \frac{BC}{2} = BC
\]
- Tuy nhiên, do EF là đoạn thẳng nối giữa hai điểm E và F, ta có:
\[
EF = \frac{BC}{2}
\]

### b) Chứng minh KMFE là hình thang cân

1. **Xác định các đoạn thẳng**:
- Gọi K là chân đường cao từ A xuống BC.
- M là trung điểm của BC, nên \( BM = MC \).

2. **Tính chất của hình thang**:
- Để chứng minh KMFE là hình thang cân, ta cần chứng minh hai cạnh bên KM và EF song song và bằng nhau.
- Do M là trung điểm của BC, nên \( KM \) là đường cao từ A xuống BC, và EF là đoạn thẳng nối giữa hai điểm E và F.

3. **Chứng minh KM // EF**:
- Vì ME vuông góc với AB và MF vuông góc với AC, nên KM // EF.

4. **Chứng minh KM = EF**:
- Từ phần a), ta đã chứng minh rằng \( EF = \frac{BC}{2} \).
- Do đó, \( KM = EF \).

### Kết luận
Vậy ta đã chứng minh được rằng \( EF = \frac{BC}{2} \) và KMFE là hình thang cân.