a) Tính $A = -1^2 + 2^2 - 3^2 + 4^2 - \dots - 99^2 + 100^2$
Đáp án: $A = 5050$
Các bước tính:
 
Nhóm các hạng tử thành từng cặp hai một:
$A = (2^2 - 1^2) + (4^2 - 3^2) + \dots + (100^2 - 99^2)$
Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ để khai triển từng ngoặc: 
$2^2 - 1^2 = (2-1)(2+1) = 1 \times 3 = 3$
$4^2 - 3^2 = (4-3)(4+3) = 1 \times 7 = 7$
$100^2 - 99^2 = (100-99)(100+99) = 1 \times 199 = 199$

Thay vào biểu thức, ta được một cấp số cộng:
$A = 3 + 7 + 11 + \dots + 199$
Tính tổng cấp số cộng với số số hạng là $50$:
$A = \frac{(3 + 199) \times 50}{2} = 202 \times 25 = \mathbf{5050}$

b) Tính $B = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \dots - 2004^2 + 2005^2$
Đáp án: $B = 2011015$
Các bước tính:
 
Giữ nguyên hạng tử đầu tiên, nhóm các hạng tử còn lại thành từng cặp:
$B = 1^2 + (3^2 - 2^2) + (5^2 - 4^2) + \dots + (2005^2 - 2004^2)$
Áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương để khai triển các ngoặc:
$B = 1 + (3-2)(3+2) + (5-4)(5+4) + \dots + (2005-2004)(2005+2004)$
$B = 1 + 5 + 9 + \dots + 4009$
Đây là một cấp số cộng có số hạng đầu là $1$, số hạng cuối là $4009$ và khoảng cách (công sai) là $4$.
Tính số số hạng $n$:
$n = \frac{4009 - 1}{4} + 1 = 1002 + 1 = 1003$
Sử dụng công thức tính tổng cấp số cộng:
$B = \frac{(1 + 4009) \times 1003}{2} = 2005 \times 1003 = \mathbf{2011015}$

c) Tính $C = (2-1)(2^4-1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)-2^{64}$
Lưu ý: Các số $24, 28, 216, 232, 264$ trong đề bài của bạn viết liền nên được hiểu là các lũy thừa $2^4, 2^8, 2^{16}, 2^{32}, 2^{64}$. Đồng thời, để bài toán tuân theo quy luật hiệu hai bình phương liên tiếp, ngoặc thứ hai chính xác phải là $(2^4+1)$ thay vì $(2^4-1)$. Dưới đây là lời giải dựa trên đề bài đã chuẩn hóa.
Đề bài chuẩn hóa: $C = (2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)(2^{32}+1)-2^{64}$
Đáp án: $C = -1$
Các bước tính:
 
Nhân nhân tử đầu tiên với $(2+1)$ để tạo hằng đẳng thức và nhân liên tiếp: 
$(2-1)(2+1) = 2^2 - 1$
$(2^2-1)(2^2+1) = 2^4 - 1$
$(2^4-1)(2^4+1) = 2^8 - 1$
$(2^8-1)(2^8+1) = 2^{16} - 1$
$(2^{16}-1)(2^{16}+1) = 2^{32} - 1$
$(2^{32}-1)(2^{32}+1) = 2^{64} - 1$

Thay kết quả thu gọn vào biểu thức ban đầu:
$C = (2^{64} - 1) - 2^{64} = \mathbf{-1}$

Để tính các biểu thức này một cách đơn giản, ta áp dụng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương: $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

a) Tính $A = -1^2 + 2^2 - 3^2 + 4^2 - ... - 99^2 + 100^2$

Nhóm các số hạng thành từng cặp:

$A = (2^2 - 1^2) + (4^2 - 3^2) + ... + (100^2 - 99^2)$
Áp dụng hằng đẳng thức $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$A = (2 - 1)(2 + 1) + (4 - 3)(4 + 3) + ... + (100 - 99)(100 + 99)$
$A = 1 \cdot (1 + 2) + 1 \cdot (3 + 4) + ... + 1 \cdot (99 + 100)$
$A = 1 + 2 + 3 + 4 + ... + 99 + 100$$
Áp dụng công thức tính tổng chuỗi hạt:

$A = \frac{100 \cdot (100 + 1)}{2} = 50 \cdot 101 = 5050$
b) Tính $B = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + ... - 2004^2 + 2005^2$

Tách số hạng cuối $2005^2$ ra ngoài và nhóm các cặp còn lại:

$B = 1^2 + (3^2 - 2^2) + (5^2 - 4^2) + ... + (2005^2 - 2004^2)$
$B = 1 + (3 - 2)(3 + 2) + (5 - 4)(5 + 4) + ... + (2005 - 2004)(2005 + 2004)$
$B = 1 + (2 + 3) + (4 + 5) + ... + (2004 + 2005)$
$B = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 2004 + 2005$
Áp dụng công thức tính tổng từ $1$ đến $2005$:

$B = \frac{2005 \cdot (2005 + 1)}{2} = \frac{2005 \cdot 2006}{2} = 2005 \cdot 1003 = 2011015$
c) Tính $C = (2 - 1)(2^4 - 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) - 2^{64}$

(Lưu ý: Biểu thức gốc $(2^4-1)$ ở thừa số thứ 2 thường trong các dạng toán này là $(2^4+1)$, do $(2-1)(2+1) = 2^2-1$, tiếp tục nhân gấp đôi số mũ).

Trường hợp chuẩn của bài toán gốc: $C = (2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) - 2^{64}$

Nhan cả hai bên với $(2 - 1) = 1$:

$$C = (2 - 1)(2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) - 2^{64}$$
Áp dụng liên tiếp hằng đẳng thức $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$:

$(2 - 1)(2 + 1) = 2^2 - 1$

$(2^2 - 1)(2^2 + 1) = 2^4 - 1$

$(2^4 - 1)(2^4 + 1) = 2^8 - 1$

$(2^8 - 1)(2^8 + 1) = 2^{16} - 1$

$(2^{16} - 1)(2^{16} + 1) = 2^{32} - 1$

$(2^{32} - 1)(2^{32} + 1) = 2^{64} - 1$

Thay vào biểu thức:
$C = (2^{64} - 1) - 2^{64} = -1$

Chúng ta sẽ giải từng phần a), b), c) theo từng bước rõ ràng.

---

### a) Tính tổng:
\[
A = -1^2 + 2^2 - 3^2 + 4^2 - \cdots - 99^2 + 100^2
\]

**Bước 1:** Viết lại tổng theo dấu:

- Các số lẻ có dấu âm: \(-1^2, -3^2, -5^2, \ldots, -99^2\)
- Các số chẵn có dấu dương: \(+2^2, +4^2, +6^2, \ldots, +100^2\)

**Bước 2:** Tách tổng thành tổng các số chẵn và tổng các số lẻ:

\[
A = (2^2 + 4^2 + \cdots + 100^2) - (1^2 + 3^2 + \cdots + 99^2)
\]

**Bước 3:** Tính tổng bình phương các số chẵn từ 2 đến 100:

Số lượng số chẵn từ 2 đến 100 là \(50\) số (vì \(100/2=50\)).

Công thức tổng bình phương số chẵn:

\[
\sum_{k=1}^{n} (2k)^2 = 4 \sum_{k=1}^n k^2 = 4 \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}
\]

Với \(n=50\):

\[
\sum_{k=1}^{50} (2k)^2 = 4 \cdot \frac{50 \cdot 51 \cdot 101}{6}
\]

Tính:

- \(50 \cdot 51 = 2550\)
- \(2550 \cdot 101 = 257550\)
- \(\frac{257550}{6} = 42925\)
- Nhân 4: \(4 \times 42925 = 171700\)

Vậy:

\[
\sum_{k=1}^{50} (2k)^2 = 171700
\]

**Bước 4:** Tính tổng bình phương các số lẻ từ 1 đến 99:

Số lượng số lẻ từ 1 đến 99 là 50 số (vì \( (99+1)/2 = 50 \)).

Công thức tổng bình phương số lẻ:

\[
\sum_{k=1}^n (2k-1)^2 = \frac{n(2n+1)(2n-1)}{3}
\]

Với \(n=50\):

\[
\sum_{k=1}^{50} (2k-1)^2 = \frac{50 \cdot 101 \cdot 99}{3}
\]

Tính:

- \(50 \cdot 101 = 5050\)
- \(5050 \cdot 99 = 499950\)
- Chia 3: \(\frac{499950}{3} = 166650\)

**Bước 5:** Tính tổng \(A\):

\[
A = 171700 - 166650 = 5050
\]

---

### b) Tính tổng:
\[
B = 1^2 - 2^2 + 3^2 - 4^2 + \cdots - 2004^2 + 2005^2
\]

**Bước 1:** Nhận xét dấu:

- Số lẻ có dấu dương: \(1^2, 3^2, 5^2, \ldots, 2005^2\)
- Số chẵn có dấu âm: \(2^2, 4^2, 6^2, \ldots, 2004^2\)

**Bước 2:** Tách tổng:

\[
B = (1^2 + 3^2 + \cdots + 2005^2) - (2^2 + 4^2 + \cdots + 2004^2)
\]

**Bước 3:** Tính số lượng số lẻ và số chẵn:

- Số lẻ từ 1 đến 2005: \(\frac{2005 + 1}{2} = 1003\)
- Số chẵn từ 2 đến 2004: \(\frac{2004}{2} = 1002\)

**Bước 4:** Tính tổng bình phương số lẻ:

\[
\sum_{k=1}^{1003} (2k-1)^2 = \frac{1003 \cdot (2 \cdot 1003 + 1) \cdot (2 \cdot 1003 - 1)}{3}
\]

Tính các số:

- \(2 \cdot 1003 + 1 = 2007\)
- \(2 \cdot 1003 - 1 = 2005\)

Vậy:

\[
\sum_{k=1}^{1003} (2k-1)^2 = \frac{1003 \cdot 2007 \cdot 2005}{3}
\]

**Bước 5:** Tính tổng bình phương số chẵn:

\[
\sum_{k=1}^{1002} (2k)^2 = 4 \sum_{k=1}^{1002} k^2 = 4 \cdot \frac{1002 \cdot 1003 \cdot 2005}{6}
\]

Tính:

- \(\sum_{k=1}^{1002} k^2 = \frac{1002 \cdot 1003 \cdot 2005}{6}\)

Nhân 4:

\[
4 \cdot \frac{1002 \cdot 1003 \cdot 2005}{6} = \frac{2 \cdot 1002 \cdot 1003 \cdot 2005}{3}
\]

**Bước 6:** Tính \(B\):

\[
B = \frac{1003 \cdot 2007 \cdot 2005}{3} - \frac{2 \cdot 1002 \cdot 1003 \cdot 2005}{3} = \frac{1003 \cdot 2005}{3} (2007 - 2 \cdot 1002)
\]

Tính trong ngoặc:

\[
2007 - 2 \cdot 1002 = 2007 - 2004 = 3
\]

Vậy:

\[
B = \frac{1003 \cdot 2005}{3} \times 3 = 1003 \cdot 2005
\]

Tính:

\[
1003 \times 2005 = 1003 \times (2000 + 5) = 1003 \times 2000 + 1003 \times 5 = 2,006,000 + 5,015 = 2,011,015
\]

---

### c) Tính biểu thức:
\[
C = (2^1 - 1)(2^4 - 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1) - 2^{64}
\]

**Bước 1:** Nhận xét:

Biểu thức này liên quan đến các số Fermat và công thức phân tích \(2^{64} - 1\).

Công thức phân tích:

\[
2^{64} - 1 = (2^1 - 1)(2^1 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)
\]

Ở đây, ta có:

\[
(2^1 - 1)(2^4 - 1)(2^8 + 1)(2^{16} + 1)(2^{32} + 1)
\]

Chú ý rằng:

\[
2^4 - 1 = (2^2 - 1)(2^2 + 1) = (3)(5)
\]

Và \(2^1 + 1 = 3\) cũng xuất hiện trong phân tích \(2^{64} - 1\).

**Bước 2:** Thử tính từng phần:

- \(2^1 - 1 = 2 - 1 = 1\)
- \(2^4 - 1 = 16 - 1 = 15\)
- \(2^8 + 1 = 256 + 1 = 257\)
- \(2^{16} + 1 = 65536 + 1 = 65537\)
- \(2^{32} + 1 = 4294967296 + 1 = 4294967297\)

**Bước 3:** Tính tích:

\[
P = 1 \times 15 \times 257 \times 65537 \times 4294967297
\]

**Bước 4:** Nhận xét:

- \(15 = 3 \times 5\