Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Có O cố định, chọn T sao cho:

OT=60 km

Biết:

OX=120 km,OY=150 km, $\hat{X O Y}$ =120∘.

Chi phí:

TX: 100000 USD/km.
TY: 200000 USD/km.
Tìm chi phí nhỏ nhất.

1. Đặt góc và tính TX,TY
Đặt:

$\hat{X O T}$ =θ.

Vì OT=60, áp dụng định lý cosin trong tam giác OXT:

TX²=OX²+OT²−2⋅OX⋅OTcosθ.

Thay số:

TX²=120²+60²−2⋅120⋅60cosθ

=18000−14400cosθ

=3600(5−4cosθ).

Do đó:

TX=60 $\sqrt{5 - 4 \cos θ}$ .

Với tam giác OYT, ta có:

$\hat{Y O T}$ =120∘−θ.

Theo định lý cosin:

TY²=150²+60²−2⋅150⋅60cos(120∘−θ).

Suy ra:

TY²=26100−18000cos(120^∘−θ).

Vì 26100=900(29), ta có:

TY=30 $\sqrt{29 - 20 \cos (120 \circ - θ)} D o đ ó : 2 T Y = 60 \sqrt{29 - 20 \cos (120 \circ - θ)}$

2. Lập biểu thức chi phí
Chi phí tính theo triệu USD là:

C=0,1TX+0,2TY.

Hay:

C=0,1(TX+2TY).

Thay các kết quả trên:

$C = 6 [\sqrt{5 - 4 \cos θ} + \sqrt{29 - 20 \cos (120^{0} - θ)}] V ì v ậ y t a c ầ n t ì m g i á t r ị n h ỏ n h ấ t c ủ a F = \sqrt{5 - 4 \cos θ} + \sqrt{29 - 20 \cos (120^{0} - θ)}$

3. Đưa về một biến t
Đặt:

t= tan

\frac{θ}{2}

Ta có:

\cos θ = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}, \sin θ = \frac{2 t}{1 + t^{2}} T r ư ớ c h ế t : 5 - 4 \cos θ = 5 - 4 \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} = \frac{5 (1 + t^{2}) - 4 (1 - t^{2})}{1 + t^{2}} = \frac{1 + 9 t^{2}}{1 + t^{2}}

Mặt khác:

cos(120^∘−θ)=cos120^∘cosθ+sin120^∘sinθ.

Do:

cos120^∘=− $\frac{1}{2}$ , sin120^∘= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ,

nên:

cos(120^∘−θ)=− $\frac{1}{2}$ cosθ+ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ sinθ.

Suy ra:

29−20cos(120^∘−θ)=29+10cosθ−10 $\sqrt{3}$ sinθ.

Thay cosθ,sinθ:

$29 + 10 \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} - 10 \sqrt{3} \frac{2 t}{1 + t^{2}} = \frac{19 t^{2} - 20 \sqrt{3} t + 39}{1 + t^{2}} V ậ y : F = \frac{\sqrt{9 t^{2} + 1} + \sqrt{19 t^{2} - 20 \sqrt{3} t + 39}}{\sqrt{1 + t^{2}}} 4 . C h ứ n g m i n h F \geq \sqrt{31} T a c ầ n c h ứ n g m i n h : \frac{\sqrt{9 t^{2} + 1} + \sqrt{19 t^{2} - 20 \sqrt{3} t + 39}}{\sqrt{1 + t^{2}}} \geq \sqrt{31} B ì n h p h ư ơ n g h a i v ế : (\sqrt{9 t^{2} + 1} + \sqrt{19 t^{2} - 20 \sqrt{3} t + 39}) \geq 31 (1 + t^{2}) K h a i t r i ể n : 28 t^{2} - 20 \sqrt{3} t + 40 + 2 \sqrt{(9 t^{2} + 1) (19 t^{2} - 20 \sqrt{3} t + 39)} \geq 31 + 31 t^{2} C h u y ể n v ế : 2 \sqrt{(9 t^{2} + 1) (19 t^{2} - 20 \sqrt{3} t + 39)} \geq 3 t^{2} + 20 \sqrt{3} t - 9$

Nếu vế phải ≤0, bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

Nếu vế phải >0, bình phương hai vế. Sau khi rút gọn:

4(9t²+1)(19t²−20 $\sqrt{3 t}$ +39)

−(3t²+20 $\sqrt{3 t}$ −9)²

=675

${(t^{2} - \frac{28 \sqrt{3}}{45} t - \frac{1}{3})}^{2} \geq 0 D o đ ó : F \geq \sqrt{31} D ấ u b ằ n g x ả y r a v ớ i m ộ t g i á t r ị t t h í c h h ợ p, n ê n g i á t r ị n h ỏ n h ấ t t h ự c s ự đ ạ t đ ư ợ c . V ậ y : F_{m i n} \geq \sqrt{31}$

5. Tính chi phí nhỏ nhất
Ta có:

C=6F.

Do đó:

C_min=631 triệu USD.

Hay:

C_min=6 $\sqrt{31}$ triệu USD.

Đáp án: D. 6 $\sqrt{31}$

...Xem thêm

Answer 2

Có O cố định, chọn T sao cho:

OT=60 km

Biết:

OX=120 km,OY=150 km, $\hat{X O Y}$ =120∘.

Chi phí:

TX: 100000 USD/km.
TY: 200000 USD/km.
Tìm chi phí nhỏ nhất.

1. Đặt góc và tính TX,TY
Đặt:

$\hat{X O T}$ =θ.

Vì OT=60, áp dụng định lý cosin trong tam giác OXT:

TX²=OX²+OT²−2⋅OX⋅OTcosθ.

Thay số:

TX²=120²+60²−2⋅120⋅60cosθ

=18000−14400cosθ

=3600(5−4cosθ).

Do đó:

TX=60 $\sqrt{5 - 4 \cos θ}$ .

Với tam giác OYT, ta có:

$\hat{Y O T}$ =120∘−θ.

Theo định lý cosin:

TY²=150²+60²−2⋅150⋅60cos(120∘−θ).

Suy ra:

TY²=26100−18000cos(120^∘−θ).

Vì 26100=900(29), ta có:

TY=30 $\sqrt{29 - 20 \cos (120 \circ - θ)} D o đ ó : 2 T Y = 60 \sqrt{29 - 20 \cos (120 \circ - θ)}$

2. Lập biểu thức chi phí
Chi phí tính theo triệu USD là:

C=0,1TX+0,2TY.

Hay:

C=0,1(TX+2TY).

Thay các kết quả trên:

$C = 6 [\sqrt{5 - 4 \cos θ} + \sqrt{29 - 20 \cos (120^{0} - θ)}] V ì v ậ y t a c ầ n t ì m g i á t r ị n h ỏ n h ấ t c ủ a F = \sqrt{5 - 4 \cos θ} + \sqrt{29 - 20 \cos (120^{0} - θ)}$

3. Đưa về một biến t
Đặt:

t= tan

\frac{θ}{2}

Ta có:

\cos θ = \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}}, \sin θ = \frac{2 t}{1 + t^{2}} T r ư ớ c h ế t : 5 - 4 \cos θ = 5 - 4 \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} = \frac{5 (1 + t^{2}) - 4 (1 - t^{2})}{1 + t^{2}} = \frac{1 + 9 t^{2}}{1 + t^{2}}

Mặt khác:

cos(120^∘−θ)=cos120^∘cosθ+sin120^∘sinθ.

Do:

cos120^∘=− $\frac{1}{2}$ , sin120^∘= $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ,

nên:

cos(120^∘−θ)=− $\frac{1}{2}$ cosθ+ $\frac{\sqrt{3}}{2}$ sinθ.

Suy ra:

29−20cos(120^∘−θ)=29+10cosθ−10 $\sqrt{3}$ sinθ.

Thay cosθ,sinθ:

$29 + 10 \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} - 10 \sqrt{3} \frac{2 t}{1 + t^{2}} = \frac{19 t^{2} - 20 \sqrt{3} t + 39}{1 + t^{2}} V ậ y : F = \frac{\sqrt{9 t^{2} + 1} + \sqrt{19 t^{2} - 20 \sqrt{3} t + 39}}{\sqrt{1 + t^{2}}} 4 . C h ứ n g m i n h F \geq \sqrt{31} T a c ầ n c h ứ n g m i n h : \frac{\sqrt{9 t^{2} + 1} + \sqrt{19 t^{2} - 20 \sqrt{3} t + 39}}{\sqrt{1 + t^{2}}} \geq \sqrt{31} B ì n h p h ư ơ n g h a i v ế : (\sqrt{9 t^{2} + 1} + \sqrt{19 t^{2} - 20 \sqrt{3} t + 39}) \geq 31 (1 + t^{2}) K h a i t r i ể n : 28 t^{2} - 20 \sqrt{3} t + 40 + 2 \sqrt{(9 t^{2} + 1) (19 t^{2} - 20 \sqrt{3} t + 39)} \geq 31 + 31 t^{2} C h u y ể n v ế : 2 \sqrt{(9 t^{2} + 1) (19 t^{2} - 20 \sqrt{3} t + 39)} \geq 3 t^{2} + 20 \sqrt{3} t - 9$

Nếu vế phải ≤0, bất đẳng thức hiển nhiên đúng.

Nếu vế phải >0, bình phương hai vế. Sau khi rút gọn:

4(9t²+1)(19t²−20 $\sqrt{3 t}$ +39)

−(3t²+20 $\sqrt{3 t}$ −9)²

=675

${(t^{2} - \frac{28 \sqrt{3}}{45} t - \frac{1}{3})}^{2} \geq 0 D o đ ó : F \geq \sqrt{31} D ấ u b ằ n g x ả y r a v ớ i m ộ t g i á t r ị t t h í c h h ợ p, n ê n g i á t r ị n h ỏ n h ấ t t h ự c s ự đ ạ t đ ư ợ c . V ậ y : F_{m i n} \geq \sqrt{31}$

5. Tính chi phí nhỏ nhất
Ta có:

C=6F.

Do đó:

C_min=631 triệu USD.

Hay:

C_min=6 $\sqrt{31}$ triệu USD.

Đáp án: D. 6 $\sqrt{31}$

2 câu trả lời 41

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 10