1. Tính độ dài \(BC\) và các góc $B, C$
Áp dụng định lý Pitago vào tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\):
\(BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}=9^{2}+12^{2}=81+144=225\)
\(\implies BC=\sqrt{225}=15\text{\ cm}\)
Sử dụng tỉ số lượng giác để tính góc \(B\) và góc \(C\):
\(\sin B=\frac{AC}{BC}=\frac{12}{15}=0,8\implies \angle B\approx 53^{\circ }8^{\prime }\)
Do tổng hai góc nhọn trong tam giác vuông bằng \(90^{\circ }\):
\(\angle C=90^{\circ }-\angle B\approx 90^{\circ }-53^{\circ }8^{\prime }=36^{\circ }52^{\prime }\)

2. Tính độ dài các đoạn thẳng \(BD\) và \(CD\)
Áp dụng tính chất đường phân giác trong tam giác cho đường phân giác \(AD\):
\(\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}\implies \frac{BD}{3}=\frac{CD}{4}\)
Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:
\(\frac{BD}{3}=\frac{CD}{4}=\frac{BD+CD}{3+4}=\frac{BC}{7}=\frac{15}{7}\)
Từ đó tính được:
\(BD=3\times \frac{15}{7}=\frac{45}{7}\text{\ cm}\approx 6,43\text{\ cm}\)
\(CD=4\times \frac{15}{7}=\frac{60}{7}\text{\ cm}\approx 8,57\text{\ cm}\)

3. Nhận biết hình dạng tứ giác \(AEDF\)
Lưu ý: Chi tiết "DE vuông góc AD" ở câu c thường là một lỗi gõ chữ của đề bài gốc phổ biến: "Kẻ \(DE \perp AB\) và \(DF \perp AC\)". Lời giải dưới đây được thực hiện theo giả thiết chuẩn này. [1, 2]
Xét tứ giác \(AEDF\) có: [1]
\(\angle EAF = 90^\circ\) (do tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\))
\(\angle AED = 90^\circ\) (do \(DE \perp AB\))
\(\angle AFD = 90^\circ\) (do \(DF \perp AC\))

Tứ giác \(AEDF\) có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật.
Mặt khác, hình chữ nhật \(AEDF\) có đường chéo \(AD\) đồng thời là đường phân giác của góc \(A\). [1, 2]
Hình chữ nhật có một đường chéo là đường phân giác của một góc sẽ là hình vuông.

✅ Kết luận
Độ dài cạnh là \(BC = 15\text{ cm}\), các góc là \(\angle B \approx 53^\circ8'\) và \(\angle C \approx 36^\circ52'\).
Độ dài các phân đoạn trên cạnh huyền là \(BD = \frac{45}{7}\text{ cm}\) và \(CD = \frac{60}{7}\text{ cm}\).
Tứ giác \(AEDF\) là hình vuông. [1, 2, 3]