1. Tính các góc của tam giác \(ABC\)
Vì tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên ta có tính chất hai góc ở đáy bằng nhau:
\(\widehat{B}=\widehat{C}\)
Tổng ba góc trong tam giác \(ABC\) bằng \(180^{\circ }\):
\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^{\circ }\)
\(50^{\circ }+2\widehat{C}=180^{\circ }\)
\(2\widehat{C}=180^{\circ }-50^{\circ }=130^{\circ }\implies \widehat{C}=65^{\circ }\)

2. Tính các góc của tam giác \(ADE\)
Theo đề bài, ta có \(AD = AE\), do đó tam giác \(ADE\) cũng cân tại đỉnh \(A\).
Tương tự như tam giác \(ABC\), hai góc ở đáy của tam giác \(ADE\) bằng nhau:
\(\widehat{ADE}=\widehat{AED}\)
Tổng ba góc trong tam giác \(ADE\) bằng \(180^{\circ }\):
\(\widehat{A}+\widehat{ADE}+\widehat{AED}=180^{\circ }\)
\(50^{\circ }+2\widehat{ADE}=180^{\circ }\)
\(2\widehat{ADE}=130^{\circ }\implies \widehat{ADE}=65^{\circ }\)

3. Chứng minh hệ quả hình học (Đường thẳng song song)
Nhận thấy \(\widehat{ADE} = \widehat{B} = 65^\circ\). Mà hai góc này nằm ở vị trí đồng vị, suy ra:
\(DE\parallel BC\)
Do \(DE \parallel BC\), cặp góc trong cùng phía \(\widehat{CDE}\) và \(\widehat{C}\) phải có tổng bằng \(180^{\circ }\):
\(\widehat{CDE}+\widehat{C}=180^{\circ }\)

4. Tính góc \(\widehat{CDE}\)
Thay số đo góc \(\widehat{C} = 65^\circ\) vừa tìm được ở bước 1 vào biểu thức:
\(\widehat{CDE}+65^{\circ }=180^{\circ }\)
\(\widehat{CDE}=180^{\circ }-65^{\circ }=115^{\circ }\)

1. Tính góc \(\widehat{ADE}\) và \(\widehat{AED}\)
Xét \(\triangle ADE\) có:
\(AD = AE\) (theo giả thiết) \(\implies \triangle ADE\) cân tại \(A\). [1]

Vì tổng 3 góc trong một tam giác bằng \(180^{\circ }\) và tam giác \(ADE\) cân tại \(A\), ta có:
\(\widehat{ADE}=\widehat{AED}=\frac{180^{\circ }-\widehat{A}}{2}=\frac{180^{\circ }-50^{\circ }}{2}=65^{\circ }\)

2. Tính góc ở đáy \(\widehat{B}\) và \(\widehat{C}\)
Xét \(\triangle ABC\) cân tại \(A\) (theo giả thiết), ta có:
\(\widehat{B}=\widehat{C}=\frac{180^{\circ }-\widehat{A}}{2}=\frac{180^{\circ }-50^{\circ }}{2}=65^{\circ }\)

3. Tính góc hình thang \(\widehat{BDE}\) và \(\widehat{CED}\)
Ta nhận thấy \(\widehat{ADE} = \widehat{B} = 65^\circ\).
Mà hai góc này nằm ở vị trí đồng vị, suy ra đường thẳng \(DE \parallel BC\).
Tứ giác \(BDEC\) có \(DE \parallel BC\) và \(\widehat{B} = \widehat{C}\) nên \(BDEC\) là hình thang cân. [1, 2]

Theo tính chất hình thang cân, hai góc kề một đáy bù nhau (tổng bằng \(180^{\circ }\)):
\(\widehat{BDE}=\widehat{CED}=180^{\circ }-\widehat{B}=180^{\circ }-65^{\circ }=115^{\circ }\)