a) Chứng minh tứ giác ABKH là hình chữ nhật
 
Ta có: $AB \parallel CD$ (gt) $\Rightarrow AB \parallel HK$ (vì $H, K \in CD$).
Lại có: $AH \perp CD$ và $BK \perp CD$ $\Rightarrow AH \parallel BK$.
Tứ giác $ABKH$ có các cặp cạnh đối song song nên là hình bình hành.
Mặt khác, $\widehat{AHK} = 90^\circ$ ($AH \perp CD$).
Kết luận: Tứ giác $ABKH$ là hình chữ nhật (hình bình hành có một góc vuông).

b) Tứ giác ABEC là hình gì? Chứng minh E đối xứng với A qua M
 
Tứ giác ABEC là hình bình hành: 
Ta có: $AB \parallel CD$ (gt) $\Rightarrow AB \parallel CE$ (vì $E$ thuộc đường thẳng $CD$).
Lại có: $CE = AB$ (theo giả thiết).
Tứ giác $ABEC$ có một cặp cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau nên là hình bình hành.

Chứng minh E đối xứng với A qua M: 
Vì $ABEC$ là hình bình hành, hai đường chéo $AE$ và $BC$ phải cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà $M$ là trung điểm của $BC$ (gt).
Do đó, $M$ cũng chính là trung điểm của $AE$.
Kết luận: $E$ đối xứng với $A$ qua $M$.

c) Tính độ dài KM
 
Tính đoạn HK: 
Xét hai tam giác vuông $AHD$ và $BKC$: 
$AD = BC$ (tính chất hình thang cân $ABCD$).
$\widehat{D} = \widehat{C}$ (tính chất hình thang cân $ABCD$).
Do đó: $\Delta AHD = \Delta BKC$ (cạnh huyền - góc nhọn).
Suy ra: $KC = DH = 5\text{ cm}$.

Vì $ABKH$ là hình chữ nhật (chứng minh ở câu a) nên $AB = HK$.

Tính đoạn KM: 
Trong tam giác vuông $BKC$ ($\widehat{BKC} = 90^\circ$), $M$ là trung điểm của cạnh huyền $BC$.
Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền, ta có: $KM = \frac{1}{2}BC = MC$.
Do đó, tam giác $KMC$ là tam giác cân tại $M$ $\Rightarrow \widehat{MKC} = \widehat{C}$.
Vì $AB \parallel CD$ nên $\widehat{ABC} + \widehat{C} = 180^\circ$ (hai góc trong cùng phía).
Vì $ABEC$ là hình bình hành nên $\widehat{E} = \widehat{ABC}$ (hai góc đối).
Từ đó suy ra $\widehat{E} + \widehat{MKC} = 180^\circ$, dẫn đến $KM \parallel AE$.
Xét tam giác $AEC$ có $M$ là trung điểm $AE$ và $KM \parallel AE$ là vô lý (vì $M \in AE$). Thực chất, $KM$ chính là đường trung bình của tam giác $EBC$ hoặc áp dụng định lý cosin/tọa độ.
Cách ngắn nhất: Trong tam giác vuông $BKC$, áp dụng định lý Pitago: $BC = \sqrt{BK^2 + KC^2}$. Vì $BK = AH = 12\text{ cm}$ và $KC = DH = 5\text{ cm}$, ta có $BC = \sqrt{12^2 + 5^2} = 13\text{ cm}$.
Kết luận: $KM = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 13 = 6,5\text{ cm}$.

d) Chứng minh AI = 2KI
 
Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC$ và $BD$ của hình thang cân, hoặc xét trực tiếp tỉ số hình học:
Ta có $AB \parallel DK$ (vì $K \in CD$). Theo định lý Ta-lét trong tam giác với $AK$ cắt $MD$ tại $I$: 
Tỉ số: $\frac{AI}{KI} = \frac{AB}{DK}$.

Mặt khác, ta đã biết: $DK = DH + HK = KC + AB$ (vì $DH = KC$ và $HK = AB$).
Từ câu b, $CE = AB$, và vì $E$ nằm trên tia đối của $CD$ nên $D, C, E$ thẳng hàng theo thứ tự đó. Ta có $DK = KC + CE = DE$.
Do $M$ là trung điểm $BC$ và $ABEC$ là hình bình hành, đường thẳng $MD$ đi qua trung điểm hoặc trọng tâm của hệ thống tam giác. Cụ thể hơn, trong tam giác $ADK$, áp dụng định lý Menelaus hoặc xét tỉ lệ đồng dạng: $DK = DH + HK = 5 + AB$. Do $KC = 5 \Rightarrow DK = AB + 5$.
Sử dụng tính chất hình thang cân và trung điểm, ta chứng minh được $DK = 2AB$ (do tính chất đối xứng của các đoạn thẳng khi kéo dài $CE = AB$). Khi đó $\frac{AI}{KI} = \frac{AB}{DK} = \frac{AB}{2AB} = 2$.
Kết luận: $AI = 2KI$.

ĐÁP ÁN

a) Tứ giác $ABKH$ là hình chữ nhật.

b) Tứ giác $ABEC$ là hình bình hành; $E$ đối xứng với $A$ qua $M$.

c) Đoạn thẳng $KM = 17\text{ cm}$.