Ta cần tìm số bộ số nguyên không âm (x,y,z,t) thỏa mãn

x+y+z+t=40,x≤4, y≤4.

Ta xét các giá trị của x và y.

Vì x≤4, y≤4 nên:

x=0,1,2,3,4;  y=0,1,2,3,4.

Có 5×5=25 cặp (x,y).
Với mỗi cặp (x,y), đặt

s=40−x−y.

Khi đó

z+t=s.
Do x+y≤8, nên s≥32≥0.

Số nghiệm nguyên không âm của phương trình

z+t=s

là

s+1=41−x−y.

Vậy tổng số nghiệm là

$\sum _{x=0}^4\sum _{y=0}^4$​(41−x−y).

Tính tổng:

N=25⋅41−5(0+1+2+3+4)−5(0+1+2+3+4)

=1025−5⋅10−5⋅10

=1025−50−50

=925.

​Đáp số
925
Cách giải khác (dùng công thức tổ hợp)
Ban đầu, số nghiệm không âm của

x+y+z+t=40

là

$\left(\begin{array}{c}43\\ 3\end{array}\right)$

Dùng nguyên lý bù trừ để loại các nghiệm có x≥5 hoặc y≥5:

x≥5: đặt x′=x−5, được

x′+y+z+t=35

có $\left(\begin{array}{c}38\\ 3\end{array}\right)$ nghiệm.
Tương tự y≥5: cũng có $\left(\begin{array}{c}38\\ 3\end{array}\right)$ nghiệm.
x≥5, y≥5: đặt x′=x−5, y′=y−5,

x′+y′+z+t=30

có $\left(\begin{array}{c}33\\ 3\end{array}\right)$ nghiệm.
Vậy

$\left(\begin{array}{c}43\\ 3\end{array}\right)-2\left(\begin{array}{c}38\\ 3\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}33\\ 3\end{array}\right)$=12341−2⋅8436+5456=925.

Kết quả cuối cùng vẫn là:

925.

Ta cần tìm số bộ số nguyên không âm (x,y,z,t) thỏa mãn

x+y+z+t=40,x≤4, y≤4.

Ta xét các giá trị của x và y.

Vì x≤4, y≤4 nên:

x=0,1,2,3,4;  y=0,1,2,3,4.

Có 5×5=25 cặp (x,y).
Với mỗi cặp (x,y), đặt

s=40−x−y.

Khi đó

z+t=s.
Do x+y≤8, nên s≥32≥0.

Số nghiệm nguyên không âm của phương trình

z+t=s

là

s+1=41−x−y.

Vậy tổng số nghiệm là

∑4x=0∑4y=0​(41−x−y).

Tính tổng:

N=25⋅41−5(0+1+2+3+4)−5(0+1+2+3+4)

=1025−5⋅10−5⋅10

=1025−50−50

=925.

​Đáp số
925
Cách giải khác (dùng công thức tổ hợp)
Ban đầu, số nghiệm không âm của

x+y+z+t=40

là

(433)

Dùng nguyên lý bù trừ để loại các nghiệm có x≥5 hoặc y≥5:

x≥5: đặt x′=x−5, được

x′+y+z+t=35

có (383) nghiệm.
Tương tự y≥5: cũng có (383) nghiệm.
x≥5, y≥5: đặt x′=x−5, y′=y−5,

x′+y′+z+t=30

có (333) nghiệm.
Vậy

(433)−2(383)+(333)=12341−2⋅8436+5456=925.

Kết quả cuối cùng vẫn là:

925.