Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Bước 1. Điều kiện xác định
Các biểu thức dưới dấu căn không âm:

$\{\begin{cases} x + 3 \geq 0, \\ 3 x + 1 \geq 0, \\ x \geq 0 \\ 2 x + 2 \geq 0 \end{cases}$

Suy ra:

x≥0.
Bước 2. Biến đổi
Ta nhận thấy:

(x+3)+(3x+1)=4x+4=2(2x+2).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

${(\sqrt{x + 3} + \sqrt{3 x + 1})}^{2} \leq 2 [(x + 3) + (3 x + 1)] = 8 x + 8 . D o đ ó \sqrt{x + 3} + \sqrt{3 x + 1} \leq 2 \sqrt{2 x + 2} M ặ t k h á c, 2 \sqrt{x} + \sqrt{2 x + 2} \leq \sqrt{2} \sqrt{4 x + 2 x + 2} = 2 \sqrt{2 x + 2} V ậ y c ả h a i v ế c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h đ ề u k h ô n g v ư ợ t q u á 2 \sqrt{2 x + 2} . Đ ể h a i v ế b ằ n g n h a u t h ì đ ồ n g t h ờ i p h ả i x ả y r a d ấ u b ằ n g t r o n g c ả h a i b ấ t đ ẳ n g t h ứ c . V ớ i b ấ t đ ẳ n g t h ứ c t h ứ n h ấ t : \sqrt{x + 3} = \sqrt{3 x + 1} x + 3 = 3 x + 1 x = 1 . V ớ i b ấ t đ ẳ n g t h ứ c t h ứ h a i : 2 \sqrt{x} = \sqrt{2} \sqrt{2 x + 2} 4 x = 4 x + 4, đ i ề u n à y v ô l ý n ế u s u y l u ậ n t r ự c t i ế p t ừ d ạ n g t r ê n . T h a y v à o đ ó, đ i ề u k i ệ n x ả y r a d ấ u b ằ n g c ủ a C a u c h y l à 2 \sqrt{x} = \sqrt{2} \sqrt{2 x + 2} s u y r a x = 1 . B ư ớ c 3 . T h ử l ạ i T h a y x = 1 : \sqrt{4} + \sqrt{4} = 2 + 2 = 4, 2 \sqrt{1} + \sqrt{4} = 2 + 2 = 4, H a i v ế b ằ n g n h a u . K ế t l u ậ n x = 1 . $

...Xem thêm

Answer 2

Bước 1. Điều kiện xác định
Các biểu thức dưới dấu căn không âm:

$\{\begin{cases} x + 3 \geq 0, \\ 3 x + 1 \geq 0, \\ x \geq 0 \\ 2 x + 2 \geq 0 \end{cases}$

Suy ra:

x≥0.
Bước 2. Biến đổi
Ta nhận thấy:

(x+3)+(3x+1)=4x+4=2(2x+2).

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy:

${(\sqrt{x + 3} + \sqrt{3 x + 1})}^{2} \leq 2 [(x + 3) + (3 x + 1)] = 8 x + 8 . D o đ ó \sqrt{x + 3} + \sqrt{3 x + 1} \leq 2 \sqrt{2 x + 2} M ặ t k h á c, 2 \sqrt{x} + \sqrt{2 x + 2} \leq \sqrt{2} \sqrt{4 x + 2 x + 2} = 2 \sqrt{2 x + 2} V ậ y c ả h a i v ế c ủ a p h ư ơ n g t r ì n h đ ề u k h ô n g v ư ợ t q u á 2 \sqrt{2 x + 2} . Đ ể h a i v ế b ằ n g n h a u t h ì đ ồ n g t h ờ i p h ả i x ả y r a d ấ u b ằ n g t r o n g c ả h a i b ấ t đ ẳ n g t h ứ c . V ớ i b ấ t đ ẳ n g t h ứ c t h ứ n h ấ t : \sqrt{x + 3} = \sqrt{3 x + 1} x + 3 = 3 x + 1 x = 1 . V ớ i b ấ t đ ẳ n g t h ứ c t h ứ h a i : 2 \sqrt{x} = \sqrt{2} \sqrt{2 x + 2} 4 x = 4 x + 4, đ i ề u n à y v ô l ý n ế u s u y l u ậ n t r ự c t i ế p t ừ d ạ n g t r ê n . T h a y v à o đ ó, đ i ề u k i ệ n x ả y r a d ấ u b ằ n g c ủ a C a u c h y l à 2 \sqrt{x} = \sqrt{2} \sqrt{2 x + 2} s u y r a x = 1 . B ư ớ c 3 . T h ử l ạ i T h a y x = 1 : \sqrt{4} + \sqrt{4} = 2 + 2 = 4, 2 \sqrt{1} + \sqrt{4} = 2 + 2 = 4, H a i v ế b ằ n g n h a u . K ế t l u ậ n x = 1 . $

Answer 3

Phương trình tương đương với: (
𝑥+3√
−2
)
+
(
3𝑥+1√
−2
)
=2
(
𝑥√
−1
)
+
(
2𝑥+2√
−2
)
. Liên hợp mỗi vế để xuất hiện nhân tử chung là (
𝑥
−1
)
. Nghiệm duy nhất của phương trình là 𝒙
=𝟏
.

Các bước giải chi tiết như sau:

Điều kiện xác định: 𝑥
≥0
.
Chuyển vế và nhóm hằng số: Trừ cả hai vế cho 22
2
và chuyển các căn thức, ta có:
(
𝑥+3√
−2
)
+
(
3𝑥+1√
−2
)
=2
(
𝑥√
−1
)
+
(
2𝑥+2√
−2
)

Nhân lượng liên hợp:

𝑥+3√
−2
=𝑥−1𝑥+3√+2

3𝑥+1√
−2
=3(𝑥−1)3𝑥+1√+2

2
(
𝑥√
−1
)
=2(𝑥−1)𝑥√+1

2𝑥+2√
−2
=2(𝑥−1)2𝑥+2√+2

Phân tích nhân tử: Đưa nhân tử chung (
𝑥
−1
)
ra ngoài, phương trình trở thành:
(
𝑥
−1
)
1𝑥+3√+2
+33𝑥+1√+2
−2𝑥√+1
−22𝑥+2√+2
=0

Kết luận: Phần trong ngoặc luôn dương với mọi 𝑥
≥0
. Do đó, nhân tử duy nhất bằng 00
0
là 𝑥
−1
=0
, tương đương với 𝑥
=1
.

Bạn có muốn tôi giải thích rõ hơn về cách nhân lượng liên hợp hoặc thử giải các bài toán phương trình chứa căn bậc hai khác không?

2 sites

sqrt ( x 3 ) sqrt ( 3x 1) = 2sqrt( x ) sqrt ( 2x 2 ) - OLM
Điều kiện : x ≥ 0 x\ge0 x≥0. Ta có : 3 x + 1 − 2 x + 2 = 2 x − x + 3 \sqrt{3x+1}-\sqrt{2x+2}=2\sqrt{x}-\sqrt{x+3} 3x+1 −2x+2 =2x...

OLM

sqrt{x+3} + \sqrt{3x+1} = 2\sqrt{x} + \sqrt{2x+2}$$
May 26, 2013 — Đã gửi 26-05-2013 - 16:29. 25 minutes. Thành viên nổi bật 2015. Hiệp sỹ; 2795 Bài viết. Vào lúc 26 Tháng 5 2013 - 02:19, Tienanh t...

diendantoanhoc.org