1. Tính độ dài cạnh huyền \(BC\)
Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\):
\(BC=\sqrt{AB^{2}+AC^{2}}=\sqrt{3^{2}+4^{2}}=5\text{\ cm}\)
2. Tìm bán kính đường tròn nội tiếp \(r\)
Trong tam giác vuông, bán kính đường tròn nội tiếp \(r\) được tính nhanh bằng công thức:
\(r=\frac{AB+AC-BC}{2}=\frac{3+4-5}{2}=1\text{\ cm}\)
3. Áp dụng phương pháp tọa độ
Đặt tam giác \(ABC\) lên hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho:
Đỉnh \(A\) trùng với gốc tọa độ: \(A(0; 0)\)
Đỉnh \(B\) nằm trên trục hoành: \(B(3; 0)\)
Đỉnh \(C\) nằm trên trục tung: \(C(0; 4)\)

Dựa vào hệ tọa độ này, ta xác định được vị trí của \(I\) và \(M\):
Tâm đường tròn nội tiếp \(I\): Do \(I\) cách đều hai trục tọa độ một khoảng bằng bán kính \(r = 1\), suy ra \(I(1; 1)\).
Trung điểm \(M\) của \(BC\): Có tọa độ là trung bình cộng tọa độ của \(B\) và \(C\):
\(M=\left(\frac{3+0}{2};\frac{0+4}{2}\right)=(1,5;2)\)

4. Tính độ dài đoạn thẳng \(IM\)
Áp dụng công thức tính khoảng cách giữa hai điểm \(I(1; 1)\) và \(M(1,5; 2)\):
\(IM=\sqrt{(1,5-1)^{2}+(2-1)^{2}}=\sqrt{0,5^{2}+1^{2}}=\sqrt{1,25}=\frac{\sqrt{5}}{2}\text{\ cm}\)

- **Bước 1: Xác định các cạnh của tam giác vuông ABC**

Tam giác vuông tại A có:
\[
AB = 3 \text{ cm}, \quad AC = 4 \text{ cm}
\]

- **Bước 2: Tính độ dài cạnh huyền BC**

Áp dụng định lý Pythagore:
\[
BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \text{ cm}
\]

- **Bước 3: Tính tọa độ các điểm (giả sử hệ trục tọa độ)**

Để dễ tính toán, ta đặt:
\[
A = (0,0), \quad B = (3,0), \quad C = (0,4)
\]

- **Bước 4: Tính tọa độ điểm I - tâm đường tròn nội tiếp tam giác**

Tâm đường tròn nội tiếp tam giác vuông là giao điểm của các đường phân giác trong tam giác.

Công thức tọa độ tâm đường tròn nội tiếp tam giác với các đỉnh \(A(x_A,y_A), B(x_B,y_B), C(x_C,y_C)\) và các cạnh đối diện \(a, b, c\) lần lượt là:
\[
I = \left( \frac{a x_A + b x_B + c x_C}{a + b + c}, \frac{a y_A + b y_B + c y_C}{a + b + c} \right)
\]

Trong đó:
- \(a = BC = 5\) (cạnh đối diện A)
- \(b = AC = 4\) (cạnh đối diện B)
- \(c = AB = 3\) (cạnh đối diện C)

Thay vào:
\[
I_x = \frac{5 \cdot 0 + 4 \cdot 3 + 3 \cdot 0}{5 + 4 + 3} = \frac{0 + 12 + 0}{12} = 1
\]
\[
I_y = \frac{5 \cdot 0 + 4 \cdot 0 + 3 \cdot 4}{12} = \frac{0 + 0 + 12}{12} = 1
\]

Vậy:
\[
I = (1,1)
\]

- **Bước 5: Tính tọa độ điểm M - trung điểm cạnh huyền BC**

Cạnh huyền BC có:
\[
B = (3,0), \quad C = (0,4)
\]

Trung điểm M:
\[
M = \left( \frac{3 + 0}{2}, \frac{0 + 4}{2} \right) = (1.5, 2)
\]

- **Bước 6: Tính độ dài đoạn thẳng IM**

\[
IM = \sqrt{(1.5 - 1)^2 + (2 - 1)^2} = \sqrt{(0.5)^2 + (1)^2} = \sqrt{0.25 + 1} = \sqrt{1.25} = \frac{\sqrt{5}}{2}
\]

- **Kết luận:**

Độ dài đoạn thẳng \(IM\) là:
\[
\boxed{\frac{\sqrt{5}}{2} \text{ cm} \approx 1.118 \text{ cm}}
\]