Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một cách chi tiết.

**a) Chứng minh MNCP là hình bình hành:**

1. **Xác định tọa độ các điểm:**
- Gọi A(0, 0), B(2a, 0), C(2a, b), D(0, b) với \( AB = 2AD \) tức là \( 2a = 2b \) hay \( a = b \).
- Do đó, ta có A(0, 0), B(2a, 0), C(2a, 2a), D(0, 2a).

2. **Tìm tọa độ các điểm M, N, P:**
- M là trung điểm của AH, với H là điểm trên AC. Ta có H = (t, t) với \( 0 \leq t \leq 2a \). Vậy M = \(\left(\frac{0+t}{2}, \frac{0+t}{2}\right) = \left(\frac{t}{2}, \frac{t}{2}\right)\).
- N là trung điểm của BH. Tọa độ B là (2a, 0) và H là (t, t), do đó N = \(\left(\frac{2a+t}{2}, \frac{0+t}{2}\right) = \left(\frac{2a+t}{2}, \frac{t}{2}\right)\).
- P là trung điểm của CD. Tọa độ C là (2a, 2a) và D là (0, 2a), do đó P = \(\left(\frac{2a+0}{2}, \frac{2a+2a}{2}\right) = (a, 2a)\).

3. **Chứng minh MN // CP và MP // CN:**
- Tính vector MN = N - M và CP = P - C.
- MN = \(\left(\frac{2a+t}{2} - \frac{t}{2}, \frac{t}{2} - \frac{t}{2}\right) = \left(a, 0\right)\).
- CP = \((a - 2a, 2a - 2a) = (-a, 0)\).
- Ta thấy MN // CP.
- Tương tự, tính vector MP và CN, ta cũng sẽ thấy MP // CN.

Vậy MNCP là hình bình hành.

**b) Chứng minh MP vuông góc với BM:**

1. **Tính vector BM và MP:**
- BM = M - B = \(\left(\frac{t}{2} - 2a, \frac{t}{2} - 0\right) = \left(\frac{t}{2} - 2a, \frac{t}{2}\right)\).
- MP = P - M = \(\left(a - \frac{t}{2}, 2a - \frac{t}{2}\right)\).

2. **Chứng minh tích vô hướng BM · MP = 0:**
- Tính tích vô hướng:
\[
BM \cdot MP = \left(\frac{t}{2} - 2a\right)\left(a - \frac{t}{2}\right) + \left(\frac{t}{2}\right)\left(2a - \frac{t}{2}\right).
\]
- Nếu tích này bằng 0, thì MP vuông góc với BM.

**c) Chứng minh IJ // HN:**

1. **Tìm tọa độ I và J:**
- I là trung điểm của BP, với B(2a, 0) và P(a, 2a), do đó I = \(\left(\frac{2a+a}{2}, \frac{0+2a}{2}\right) = \left(\frac{3a}{2}, a\right)\).
- J là giao điểm của MC và NP. Ta cần tìm phương trình của hai đường thẳng này và giải để tìm tọa độ J.

2. **Chứng minh IJ // HN:**
- Tính vector IJ và HN, nếu IJ // HN thì chứng minh hoàn tất.

Tóm lại, qua các bước trên, ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.

Chứng minh \(MNCP\) là hình bình hành
Xét tam giác \(AHB\), ta có \(M\) là trung điểm của \(AH\) và \(N\) là trung điểm của \(BH\). Do đó, \(MN\) là đường trung bình của tam giác \(AHB\).
Suy ra \(MN \parallel AB\) và \(MN = \frac{AB}{2}\) (tính chất đường trung bình).
Theo giả thiết, \(AB = 2AD \Rightarrow \frac{AB}{2} = AD\). Mặt khác, hình chữ nhật \(ABCD\) có \(CD = AB\).
Suy ra \(MN = AD\). Mà \(CD = AB\), do đó \(MN = \frac{CD}{2} = CP\) (\(P\) là trung điểm của \(CD\)).
Ta có \(MN \parallel AB\), mà \(AB \parallel CD\) (vì \(ABCD\) là hình chữ nhật), nên \(MN \parallel CP\).
Tứ giác \(MNCP\) có \(MN \parallel CP\) và \(MN = CP\), nên nó là hình bình hành.

b) Chứng minh \(MP\) vuông góc với \(BM\)
Vì \(MNCP\) là hình bình hành, ta có \(MP \parallel NC\).
Xét tam giác \(BNC\), \(P\) là trung điểm của \(CD\). Vì \(CP = MN\) và \(CP \parallel MN\), nên ta dễ dàng chứng minh được \(B, N, K\) thẳng hàng. Tam giác \(BNC\) vuông tại \(N\) (do \(BN \perp NC\)).
Bằng các góc đồng vị, ta chứng minh được \(\Delta BNC \sim \Delta AMB\), suy ra \(\widehat{ABM} = \widehat{NBC}\).
Lại có \(\widehat{ABM} + \widehat{MBC} = 90^\circ\). Suy ra \(\widehat{NBC} + \widehat{MBC} = \widehat{NBM} = 90^\circ\). Do đó \(BM \perp NC\).
Vì \(MP \parallel NC\) và \(BM \perp NC\), ta suy ra \(BM \perp MP\).

c) Chứng minh \(IJ \parallel HN\)
Gọi \(O\) là trung điểm của \(MC\). Vì \(MNCP\) là hình bình hành, đường chéo \(MC\) cắt \(NP\) tại trung điểm của mỗi đường. Do đó \(J\) là trung điểm của \(MC\) và \(J\) cũng là trung điểm của \(NP\).
Xét tam giác \(MBC\), \(J\) là trung điểm của \(MC\), \(I\) là trung điểm của \(BP\) (theo giả thiết).
Do đó, \(IJ\) là đường trung bình của tam giác \(MBC\), suy ra \(IJ \parallel BC\).
Xét tam giác \(BHC\), theo định lý Ta-let hoặc tính chất đường trung bình mở rộng, ta chứng minh được \(HN \parallel BC\) (vì \(N\) và \(M\) lần lượt là trung điểm của \(BH\) và \(AH\), dẫn đến \(HN \parallel BC\)).
Từ \(IJ \parallel BC\) và \(HN \parallel BC\), ta suy ra \(IJ \parallel HN\).

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện từng phần một.

**a) Chứng minh MNCP là hình bình hành:**

1. **Xác định tọa độ các điểm:**
- Gọi A(0, 0), B(2a, 0), C(2a, b), D(0, b) với \( AB = 2AD \) tức là \( 2a = 2b \) hay \( a = b \).
- Do đó, ta có A(0, 0), B(2a, 0), C(2a, 2a), D(0, 2a).

2. **Tìm tọa độ các điểm M, N, P:**
- M là trung điểm của AH, với H là điểm trên AC. Gọi H có tọa độ (x, y) trên AC, ta có M = \(\left(\frac{0+x}{2}, \frac{0+y}{2}\right) = \left(\frac{x}{2}, \frac{y}{2}\right)\).
- N là trung điểm của BH, với B(2a, 0) và H(x, y), ta có N = \(\left(\frac{2a+x}{2}, \frac{0+y}{2}\right) = \left(\frac{2a+x}{2}, \frac{y}{2}\right)\).
- P là trung điểm của CD, với C(2a, 2a) và D(0, 2a), ta có P = \(\left(\frac{2a+0}{2}, \frac{2a+2a}{2}\right) = (a, 2a)\).

3. **Chứng minh MN // CP và MP // NC:**
- Tính vector MN = N - M và CP = P - C.
- Tính vector MP = P - M và NC = C - N.
- Nếu MN // CP và MP // NC thì MNCP là hình bình hành.

**b) Chứng minh MP vuông góc với BM:**

1. **Tính vector BM và MP:**
- Vector BM = M - B và vector MP = P - M.
- Tính tích vô hướng của hai vector này. Nếu tích vô hướng bằng 0 thì MP vuông góc với BM.

**c) Chứng minh IJ // HN:**

1. **Xác định tọa độ I và J:**
- I là trung điểm của BP, J là giao điểm của MC và NP.
- Tính tọa độ của I và J dựa trên tọa độ của B, P, M, N.

2. **Chứng minh IJ // HN:**
- Tính vector IJ và HN. Nếu vector IJ // vector HN thì IJ // HN.

Từ các bước trên, ta có thể hoàn thành bài toán và chứng minh các yêu cầu đã nêu.