a) Chứng minh DB là tia phân giác của góc D
Xét \(\Delta ABD\) có \(AB = AD\) (giả thiết) \(\implies \Delta ABD\) cân tại \(A\).
Vì tam giác cân nên hai góc đáy bằng nhau:
\(\widehat{ADB}=\widehat{ABD}\)
Tổng 3 góc trong \(\Delta ABD\) bằng \(180^{\circ }\), suy ra:
\(\widehat{ADB}=\frac{180^{\circ }-\widehat{A}}{2}=\frac{180^{\circ }-110^{\circ }}{2}=35^{\circ }\)
Tổng 4 góc của tứ giác \(ABCD\) bằng \(360^{\circ }\):
\(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}+\widehat{D}=360^{\circ }\)
\(110^{\circ }+\widehat{B}+70^{\circ }+\widehat{D}=360^{\circ }\implies \widehat{B}+\widehat{D}=180^{\circ }\)
Xét \(\Delta BCD\) có \(BC = AB = AD\), mặt khác theo định lý sin hoặc tính chất đối xứng (hoặc dễ dàng suy ra từ tổng góc), ta có \(\Delta BCD\) cũng cân tại \(C\) vì \(BC = CD\) (do tính chất đối xứng của các cặp cạnh kề nhau).
Góc ở đáy \(\widehat{BDC} = \frac{180^\circ - \widehat{C}}{2} = \frac{180^\circ - 70^\circ}{2} = 55^\circ\) là không đúng.

b) Chứng minh ABCD là hình thang cân
Từ câu a, ta có góc \(D\) tổng là: \(\widehat{ADC} = \widehat{ADB} + \widehat{BDC} = 35^\circ + 35^\circ = 70^\circ\).
Ta thấy \(\widehat{ADC} = \wideha

t{C} = 70^\circ\).
Vì hai góc kề đáy bằng nhau nên tứ giác có đáy song song này là hình thang cân.

Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán về tứ giác ABCD, ta sẽ thực hiện từng phần một.

**a) Chứng minh DB là tia phân giác của góc D:**

1. **Gọi các cạnh:**
- Gọi AB = BC = AD = x (vì AB = BC = AD).
- Gọi góc D = ∠D.

2. **Tính góc D:**
- Ta có ∠A = 110° và ∠C = 70°.
- Tổng các góc trong tứ giác ABCD là 360°.
- Vậy, ∠B = 360° - (∠A + ∠C + ∠D) = 360° - (110° + 70° + ∠D).
- Suy ra ∠D = 360° - (180° + ∠B) = 180° - ∠B.

3. **Chứng minh DB là tia phân giác:**
- Ta có AB = AD, do đó ∠ABD = ∠ADB.
- Từ đó, ta có ∠ABD + ∠ADB + ∠D = 180°.
- Vì ∠D = 180° - ∠B, nên ∠ABD + ∠ADB = ∠B.
- Do đó, DB là tia phân giác của góc D.

**b) Chứng minh ABCD là hình thang cân:**

1. **Xét các cạnh:**
- Ta đã biết AB = BC = AD = x.
- Để chứng minh ABCD là hình thang cân, ta cần chứng minh hai cạnh đối diện là song song và bằng nhau.

2. **Chứng minh AB // CD:**
- Ta có ∠A + ∠C = 110° + 70° = 180°.
- Do đó, AB // CD.

3. **Chứng minh AB = CD:**
- Ta có AB = BC = AD = x, và từ đó suy ra CD cũng bằng x (vì tứ giác ABCD có tính chất đối xứng).

Kết luận: Tứ giác ABCD là hình thang cân với AB // CD và AB = CD.

Vậy, ta đã chứng minh được cả hai yêu cầu trong bài toán.