Để chứng minh các tính chất của các tứ giác trong bài toán, ta sẽ lần lượt thực hiện từng phần.

### a. Chứng minh tam giác AHBD là hình chữ nhật

1. **Xác định các điểm**:
- Gọi \( M \) là trung điểm của \( AB \).
- Gọi \( D \) sao cho \( M \) là trung điểm của \( HD \).

2. **Tính chất của tam giác vuông**:
- Trong tam giác vuông \( ABC \), \( AH \) là đường cao từ \( A \) xuống cạnh \( BC \).
- Do đó, \( AH \) vuông góc với \( BC \).

3. **Chứng minh các góc**:
- Ta có \( \angle AHB = 90^\circ \) (vì \( AH \) vuông góc với \( BC \)).
- Tương tự, \( \angle AHD = 90^\circ \) (vì \( M \) là trung điểm của \( HD \) và \( H \) nằm trên đường cao).

4. **Kết luận**:
- Vì \( \angle AHB = 90^\circ \) và \( \angle AHD = 90^\circ \), nên \( AHBD \) là hình chữ nhật.

### b. Chứng minh tứ giác AEHD là hình bình hành

1. **Xác định điểm E**:
- Gọi \( E \) là điểm trên đoạn \( HC \) sao cho \( HB = HE \).

2. **Chứng minh các cạnh đối song song**:
- Ta có \( HB = HE \) (theo giả thiết).
- Do \( M \) là trung điểm của \( AB \) và \( D \) là điểm sao cho \( M \) là trung điểm của \( HD \), nên \( MD = MH \).
- Từ đó, ta có \( AE \parallel HD \) và \( AH \parallel DE \) (vì \( AH \) vuông góc với \( BC \) và \( DE \) cũng vuông góc với \( BC \)).

3. **Kết luận**:
- Vì hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau, nên tứ giác \( AEHD \) là hình bình hành.

### c. Chứng minh tứ giác AENB là hình thoi

1. **Xác định điểm N**:
- Gọi \( N \) sao cho \( H \) là trung điểm của \( AN \).

2. **Chứng minh các cạnh bằng nhau**:
- Ta có \( AH = HB \) (vì \( H \) là trung điểm của \( AN \)).
- Từ phần b, ta đã chứng minh \( AE = HD \).
- Do đó, \( AN = AE \) và \( HB = HE \).

3. **Chứng minh các góc**:
- Tứ giác \( AENB \) có hai cặp cạnh đối bằng nhau và các góc đối bằng nhau (do \( AE \parallel HB \) và \( AN \parallel HE \)).

4. **Kết luận**:
- Vì tứ giác \( AENB \) có bốn cạnh bằng nhau, nên nó là hình thoi.

Tóm lại, ta đã chứng minh được rằng:
- Tam giác \( AHBD \) là hình chữ nhật.
- Tứ giác \( AEHD \) là hình bình hành.
- Tứ giác \( AENB \) là hình thoi.