Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Gọi

N = \underset{2004 c h ữ s ố 9}{\underset{⏟}{8999 . . . 999}},

tức là số có chữ số đầu là 8, sau đó là 2003 chữ số 9.

Ta có

N=9⋅10²⁰⁰³−1.

Xét N theo modulo 8:

Vì

10≡2(mod8),

nên với 2003≥3,

10²⁰⁰³≡0(mod8).

Do đó

N=9⋅10²⁰⁰³−1≡9⋅0−1≡−1≡7(mod8),

cách này chưa cho thấy chia hết.

Ta đổi cách làm.

Cách chứng minh đúng
Ta có

N=8⋅10^{2003 $+ \underset{2003 c h ữ s ố}{\underset{⏟}{999 . . . 999}}$}

Mà

999…999=10²⁰⁰³−1.

Suy ra

N=8⋅10²⁰⁰³+10²⁰⁰³−1=9⋅10²⁰⁰³−1.

Xét theo modulo 17:

Vì

10⁸≡−1(mod17)

nên

10²⁰⁰⁰=(10⁸)²⁵⁰≡1(mod17),

và

10²⁰⁰³=10²⁰⁰⁰⋅10³≡1⋅1000≡14(mod17).

Do đó

N≡9⋅14−1=126−1=125≡6(mod17),

không chia hết cho 17.

Ta thử chia cho 73.

Vì

10³=1000≡−1(mod73),

nên

10²⁰⁰³=10²⁰⁰¹⋅10²=(10³)⁶⁶⁷⋅100≡(−1)⁶⁶⁷⋅100=−100≡46(mod73).

Suy ra

N≡9⋅46−1=413≡48(mod73),

cũng không được.

Cách ngắn gọn nhất
Ta nhận thấy

N=9⋅10²⁰⁰³−1.

Vì 2004 là số chẵn nên

10²⁰⁰⁴≡1(mod11).

Suy ra

10²⁰⁰³≡10≡−1(mod11).

Do đó

N≡9(−1)−1=−10≡1(mod11),

không chia hết cho 11.

Kết luận: Với dữ kiện đề bài như đã ghi, số này không có dấu hiệu chia hết cho các số nhỏ quen thuộc, và lời giải "chứng minh là hợp số" không thể hoàn thành bằng các phép chia trên.

Có khả năng đề bài bị thiếu hoặc ghi sai. Bạn vui lòng kiểm tra lại xem số cần chứng minh là:

8999…999 (2004 chữ số 9),
hay 999…999(2004 chữ số 9),
hay một số khác (ví dụ 8 rồi 2004 chữ số 9)?

...Xem thêm

Answer 2

Gọi

N = \underset{2004 c h ữ s ố 9}{\underset{⏟}{8999 . . . 999}},

tức là số có chữ số đầu là 8, sau đó là 2003 chữ số 9.

Ta có

N=9⋅10²⁰⁰³−1.

Xét N theo modulo 8:

Vì

10≡2(mod8),

nên với 2003≥3,

10²⁰⁰³≡0(mod8).

Do đó

N=9⋅10²⁰⁰³−1≡9⋅0−1≡−1≡7(mod8),

cách này chưa cho thấy chia hết.

Ta đổi cách làm.

Cách chứng minh đúng
Ta có

N=8⋅10^{2003 $+ \underset{2003 c h ữ s ố}{\underset{⏟}{999 . . . 999}}$}

Mà

999…999=10²⁰⁰³−1.

Suy ra

N=8⋅10²⁰⁰³+10²⁰⁰³−1=9⋅10²⁰⁰³−1.

Xét theo modulo 17:

Vì

10⁸≡−1(mod17)

nên

10²⁰⁰⁰=(10⁸)²⁵⁰≡1(mod17),

và

10²⁰⁰³=10²⁰⁰⁰⋅10³≡1⋅1000≡14(mod17).

Do đó

N≡9⋅14−1=126−1=125≡6(mod17),

không chia hết cho 17.

Ta thử chia cho 73.

Vì

10³=1000≡−1(mod73),

nên

10²⁰⁰³=10²⁰⁰¹⋅10²=(10³)⁶⁶⁷⋅100≡(−1)⁶⁶⁷⋅100=−100≡46(mod73).

Suy ra

N≡9⋅46−1=413≡48(mod73),

cũng không được.

Cách ngắn gọn nhất
Ta nhận thấy

N=9⋅10²⁰⁰³−1.

Vì 2004 là số chẵn nên

10²⁰⁰⁴≡1(mod11).

Suy ra

10²⁰⁰³≡10≡−1(mod11).

Do đó

N≡9(−1)−1=−10≡1(mod11),

không chia hết cho 11.

Kết luận: Với dữ kiện đề bài như đã ghi, số này không có dấu hiệu chia hết cho các số nhỏ quen thuộc, và lời giải "chứng minh là hợp số" không thể hoàn thành bằng các phép chia trên.

Có khả năng đề bài bị thiếu hoặc ghi sai. Bạn vui lòng kiểm tra lại xem số cần chứng minh là:

8999…999 (2004 chữ số 9),
hay 999…999(2004 chữ số 9),
hay một số khác (ví dụ 8 rồi 2004 chữ số 9)?

Answer 3

$N=8999\ldots99=8\cdot10^{2003}+10^{2003}-1=9\cdot10^{2003}-1$

$2003\equiv5\pmod6$

$10\equiv3\pmod7$

$10^{2003}\equiv3^{2003}\equiv3^5\equiv5\pmod7$

$N\equiv9\cdot5-1\equiv45-1\equiv44\equiv2\pmod7$

$10\equiv-1\pmod{11}$

$10^{2003}\equiv(-1)^{2003}\equiv-1\pmod{11}$

$N\equiv9(-1)-1\equiv-10\equiv1\pmod{11}$

$10\equiv1\pmod9$

$N\equiv9\cdot1-1\equiv8\pmod9$

$10\equiv-3\pmod{13}$

$10^3\equiv-1\pmod{13}$

$10^{2004}=(10^3)^{668}\equiv1\pmod{13}$

$10^{2003}\equiv10^{-1}\equiv4\pmod{13}$

$N\equiv9\cdot4-1\equiv35\equiv9\pmod{13}$

$10\equiv1\pmod3$

$N\equiv9\cdot1-1\equiv2\pmod3$

$10^{2004}-1=10N$

$2004=3\cdot668$

$10^{2004}-1=(10^{668}-1)(10^{1336}+10^{668}+1)$

$10N=(10^{668}-1)(10^{1336}+10^{668}+1)$

$N=\dfrac{10^{668}-1}{10}(10^{1336}+10^{668}+1)$

$N=999\ldots99_{667\ \text{chữ số }9},(10^{1336}+10^{668}+1)$

$N$ là hợp số.

2 câu trả lời 41

Câu hỏi hot cùng chủ đề

Bài viết mới nhất Lớp 8