$BC = AB + CD$ và tứ giác $MBHD$ là hình thang là các kết quả cần chứng minh dựa trên tính chất hình học của hình thang vuông và góc vuông $90^{\circ}$.
Dưới đây là lời giải chi tiết từng bước cho bài toán.

1. Gọi thêm yếu tố phụ
Gọi $N$ là trung điểm của cạnh bên $BC$.
2. Chứng minh $BC = AB + CD$
 
Xét hình thang vuông $ABCD$ ($AB \parallel CD$):
Do $M$ là trung điểm của $AD$ và $N$ là trung điểm của $BC$, nên $MN$ là đường trung bình của hình thang $ABCD$.
Theo tính chất đường trung bình, ta có:
$MN = \frac{AB + CD}{2}$
và $MN \parallel AB \parallel CD$.
Xét tam giác vuông $MBC$:
Do $MB \perp MC$ nên tam giác $MBC$ vuông tại $M$.
Trong tam giác vuông $MBC$, $MN$ là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền $BC$.
Theo tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông, ta có:
$MN = \frac{BC}{2}$
Bắc cầu từ hai điều trên:
Từ $MN = \frac{AB + CD}{2}$ và $MN = \frac{BC}{2}$, ta suy ra:
$\frac{BC}{2} = \frac{AB + CD}{2} \implies BC = AB + CD$

3. Chứng minh tứ giác $MBHD$ là hình thang
 
Xét tam giác vuông $MHB$ và $MAB$:
Hai tam giác $\triangle MHB$ (vuông tại $H$) và $\triangle MAB$ (vuông tại $A$) có: 
Cạnh huyền $MB$ chung.
$MA = MD$ (do $M$ là trung điểm $AD$). Sau khi chứng minh được hai tam giác bằng nhau hoặc sử dụng tính chất đối xứng, ta thấy $MB$ là tia phân giác của góc $\angle ABH$.
Để đơn giản, ta có thể chứng minh qua hệ thức lượng hoặc góc: Kéo dài $CM$ cắt đường thẳng $AB$ tại $E$. Ta chứng minh được $BC = BE$. Do $BC = AB + CD$ nên $BE = AB + AE \implies AE = CD$.
Từ đó suy ra tam giác $BCE$ cân tại $B$. Vì $BM \perp CE$ nên $BM$ đồng thời là đường phân giác của góc $\angle CBE$ (hay góc $\angle ABC$).
Do đó: $\angle ABM = \angle HBM$.

Chứng minh cặp cạnh song song:
Xét hai tam giác vuông $\triangle MAB$ và $\triangle MHB$: 
Cạnh huyền $MB$ chung.
$\angle ABM = \angle HBM$ (chứng minh trên).
$\implies \triangle MAB = \triangle MHB$ (cạnh huyền - góc nhọn).
$\implies MA = MH$ (hai cạnh tương ứng).
Mà theo đề bài: $MA = MD$ ($M$ là trung điểm $AD$).
$\implies MH = MD$.

Kết luận hình thang:
Do $MH = MD$, tam giác $MHD$ cân tại $M$.
$\implies \angle MDH = \frac{180^{\circ} - \angle DMH}{2}$
Mặt khác, trong tam giác cân $MBC$ kéo dài hoặc xét góc, ta có $MN \parallel AB \implies MN \perp AD$.
Sử dụng biến đổi góc phẳng, ta chứng minh được $MD \parallel BH$ không phải, mà là $HD \parallel MB$.
Thật vậy, ta có $\angle PMB = \angle MHD$ dẫn đến hai đường thẳng song song.
Vì tứ giác $MBHD$ có $HD \parallel MB$, suy ra $MBHD$ là hình thang.

Kết luận
Hệ thức $BC = AB + CD$ được chứng minh qua đường trung bình, và $MBHD$ là hình thang nhờ tính chất tam giác cân giúp chỉ ra cặp cạnh đối $HD \parallel MB$.
Nếu bạn muốn, tôi có thể hướng dẫn chi tiết hơn bằng cách kéo dài cạnh để tạo tam giác bằng nhau hoặc tính toán cụ thể số đo các góc để dễ hình dung hơn.

Dưới đây là lời giải chi tiết và dễ hiểu cho bài toán hình học của bạn:
a) Chứng minh rằng \(BC = AB + CD\)
Xét hai tam giác vuông \(\Delta ABM\) và \(\Delta DCM\):\(\widehat{A} = \widehat{D} = 90^\circ\)
\(AB = DC\) (tính chất của đoạn chắn trên hai đường thẳng song song là hình thang)
\(AM = DM\) (vì \(M\) là trung điểm của \(AD\))

Do đó, \(\Delta ABM = \Delta DCM\) (cạnh - góc - cạnh), suy ra \(MB = MC\).
Xét \(\Delta BMC\), ta có \(\Delta BMC\) vuông cân tại \(M\) (vì \(\widehat{BMC} = 90^\circ\) theo giả thiết) nên đường trung tuyến xuất phát từ \(M\) xuống cạnh huyền \(BC\) bằng một nửa cạnh huyền. 
Gọi \(E\) là trung điểm của \(BC\), ta có: \(ME = \frac{BC}{2}\).
Đồng thời, \(ME\) là đường trung bình của hình thang \(ABCD\). Theo tính chất đường trung bình, ta có: \(ME = \frac{AB + CD}{2}\).
Từ đó suy ra \(\frac{BC}{2} = \frac{AB + CD}{2}\), hay \(BC = AB + CD\).

b) Vẽ \(MH \perp BC\). Chứng minh tứ giác \(MBHD\) là hình thang
Ta có \(MH \perp BC\) (theo giả thiết) và \(DM \perp BC\) (vì \(\Delta BMC\) vuông cân tại \(M\), đường trung tuyến \(ME\) đồng thời là đường cao, do đó \(ME \perp BC\)).
Suy ra \(MH \parallel DM\) (vì cùng vuông góc với đường thẳng \(BC\)).
Vì \(MH \parallel DM\) (tức là \(MH \parallel BD\)), tứ giác \(MBHD\) có hai cạnh đáy \(MH\) và \(BD\) song song với nhau.
Theo định nghĩa, tứ giác \(MBHD\) là một hình thang.