a) Chứng minh: $A{B}^2=BH\cdot BC$
- Xét $\mathrm{△}ABH$ và $\mathrm{△}CBA$, ta có:
$\widehat{AHB}=\widehat{CAB}={90}^{\circ }$ (do AH là đường cao và $\mathrm{△}ABC$ vuông tại A).
$\widehat{B}$ là góc chung.
Do đó, $\mathrm{△}ABH~\mathrm{△}CBA$ (trường hợp góc - góc).
Từ các cặp cạnh tỷ lệ tương ứng, ta suy ra: $\frac{AB}{CB}=\frac{BH}{BA}$
=> AB.AB = BH.BC 
=> AB² = BH.BC (Điều phải chứng minh)
b) Chứng minh: $A{H}^2=BH\cdot CH$
- Xét $\mathrm{△}ABH$ và $\mathrm{△}CAH$, ta có:
$\widehat{AHB}=\widehat{CHA}={90}^{\circ }$ (do AH $\perp$ BC).
$\widehat{BAH}=\widehat{ACH}$ (vì cùng phụ với góc $\widehat{HAC}:\widehat{BAH}+\widehat{HAC}={90}^{\circ }$ và $\widehat{ACH}+$ $\widehat{HAC}={90}^{\circ }$).
=> Do đó, $\mathrm{△}ABH~\mathrm{△}CAH$ (trường hợp góc - góc).
=> Từ các cặp cạnh tỷ lệ tương ứng, ta suy ra: $\frac{AH}{CH}=\frac{BH}{AH}$
=> $AH\cdot AH=BH\cdot CH\text{ =>\hspace{0.17em}}A{H}^2=BH\cdot CH$ (Điều phải chứng minh)
c) Chứng minh: $AH\cdot BC=AB\cdot AC$
* Cách 1 (Sử dụng diện tích):
- Diện tích tam giác ABC vuông tại A tính theo hai cạnh góc vuông là: S =$\frac{1}{2}AB\cdot AC.$
- Diện tích tam giác ABC tính theo đường cao AH và cạnh đáy BC là: $S=\frac{1}{2}AH\cdot BC.$
- Vì cùng là diện tích của $\mathrm{△}ABC$, ta suy ra:
$\frac{1}{2}AH\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot AC \Rightarrow AH\cdot BC=AB\cdot AC$ (Điều phải chứng minh)
* Cách 2 (Sử dụng tam giác đồng dạng):
Từ chứng minh ở câu (a), ta có $\mathrm{△}ABH~\mathrm{△}CBA.$
Suy ra tỷ số: $\frac{AH}{AC}=\frac{AB}{CB}.$ => $AH\cdot BC=AB\cdot AC.$

Để chứng minh các hệ thức trong tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) có đường cao \(AH\), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp đồng dạng tam giác. Đây là các hệ thức lượng cơ bản và rất quan trọng trong hình học lớp 9.

1. Chứng minh \(AB^2 = BH \cdot BC\)
Để chứng minh hệ thức này, ta cần chứng minh hai tam giác chứa các cạnh này đồng dạng với nhau, cụ thể là \(\triangle HBA\) và \(\triangle ABC\).
Xét hai tam giác: Xét \(\triangle HBA\) và \(\triangle ABC\).
Góc chung: Có góc \(\widehat{B}\) là góc chung.
Góc vuông: Có \(\widehat{BHA} = \widehat{BAC} = 90^{\circ}\).
Kết luận đồng dạng: Suy ra \(\triangle HBA \sim \triangle ABC\) (trường hợp góc - góc).
Tỷ lệ cạnh: Từ hai tam giác đồng dạng, ta lập tỷ lệ các cạnh tương ứng:
\(\frac{AB}{BC}=\frac{BH}{AB}\)
Nhân chéo: Quy đồng mẫu số (nhân chéo), ta thu được:
\(AB^{2}=BH\cdot BC\)
(Điều phải chứng minh)

2. Chứng minh \(AH^2 = BH \cdot CH\)
Để chứng minh bình phương đường cao bằng tích hai hình chiếu, ta sẽ chứng minh hai tam giác vuông nhỏ đồng dạng với nhau: \(\triangle HBA\) và \(\triangle HAC\).
Xét các góc vuông: Xét \(\triangle HBA\) và \(\triangle HAC\) có \(\widehat{BHA} = \widehat{AHC} = 90^{\circ}\).
Phụ nhau: Ta có \(\widehat{BAH} + \widehat{ACH} = 90^{\circ}\) (vì \(\triangle ABC\) vuông tại \(A\), hai góc nhọn phụ nhau).
Góc bằng nhau: Mặt khác, \(\widehat{BAH} + \widehat{CAH} = \widehat{BAC} = 90^{\circ}\). Từ hai điều này suy ra \(\widehat{HBA} = \widehat{HAC}\) (cùng phụ với góc \(\widehat{BAH}\)).
Kết luận đồng dạng: Suy ra \(\triangle HBA \sim \triangle HAC\) (trường hợp góc - góc).
Tỷ lệ cạnh: Từ hai tam giác đồng dạng, ta lập tỷ lệ các cạnh tương ứng:
\(\frac{AH}{CH}=\frac{BH}{AH}\)
Nhân chéo: Quy đồng mẫu số (nhân chéo), ta thu được:
\(AH^{2}=BH\cdot CH\)
(Điều phải chứng minh)

3. Chứng minh \(AH \cdot BC = AB \cdot AC\)
Hệ thức này có thể chứng minh rất nhanh bằng hai cách: sử dụng tam giác đồng dạng hoặc sử dụng công thức tính diện tích tam giác.

Cách 1: Sử dụng diện tích tam giác (Nhanh nhất)
Công thức 1: Diện tích tam giác vuông \(ABC\) tính theo hai cạnh góc vuông:
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\)
Công thức 2: Diện tích tam giác \(ABC\) tính theo đường cao và cạnh đáy tương ứng:
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AH\cdot BC\)
Kết luận: Vì cùng biểu diễn diện tích của \(\triangle ABC\), ta có:
\(\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot AH\cdot BC\implies AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
(Điều phải chứng minh)

Cách 2: Sử dụng tam giác đồng dạng
Tận dụng kết quả câu a: Ở câu a, ta đã chứng minh được \(\triangle HBA \sim \triangle ABC\).
Tỷ lệ cạnh mở rộng: Từ cặp tam giác đồng dạng đó, ta cũng có tỷ lệ giữa các cạnh khác:
\(\frac{AH}{AC}=\frac{AB}{BC}\)
Nhân chéo: Quy đồng mẫu số (nhân chéo), ta thu được:
\(AH\cdot BC=AB\cdot AC\)
(Điều phải chứng minh)

Kết luận
Cả 3 hệ thức trên đều đã được chứng minh thành công dựa trên tính chất của tam giác vuông và tam giác đồng dạng:
\(AB^2 = BH \cdot BC\)
\(AH^2 = BH \cdot CH\)
\(AH \cdot BC = AB \cdot AC\)