Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack

- Xét $△ A D M$ và $△ C D B$ , ta có:
+ DM = DB (theo giả thiết, M thuộc tia đối của DB sao cho DM = DB)
+ $\hat{A D M} = \hat{C D B}$ (hai góc đối đỉnh)
+ AD = CD (vì D là trung điểm của cạnh AC)
=> Do đó, $△ A D M = △ C D B$ theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c.g.c).
- Từ sự bằng nhau này, ta suy ra hai điều quan trọng:
AM = BC (1) (hai cạnh tương ứng bằng nhau).
$\hat{D A M} = \hat{D C B}$ (hai góc tương ứng bằng nhau).
- Vì $\hat{D A M}$ và $\hat{D C B}$ ở vị trí so le trong so với đường thẳng AC, nên ta kết luận: AM // BC (2).
- Tương tự, xét $△ A E N$ và $△ B E C$ , ta có:
EN = EC (theo giả thiết, N thuộc tia đối của EC sao cho EN = EC)
$\hat{A E N} = \hat{B E C}$ (hai góc đối đỉnh)
AE = BE (vì E là trung điểm của cạnh AB)
Do đó, $△ A E N = △ B E C$ theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c.g.c).
=> Từ sự bằng nhau này, ta cũng suy ra hai điều tương ứng:
AN = BC (3) (hai cạnh tương ứng bằng nhau).
$\hat{E A N} = \hat{E B C}$ (hai góc tương ứng bằng nhau).
- Vì $\hat{E A N}$ và $\hat{E B C}$ ở vị trí so le trong so với đường thẳng AB, nên ta kết luận: AN // BC (4).
- Từ (2) và (4), ta có AM // BC và AN // BC. Theo tiên đề Euclid về đường thẳng song song, qua một điểm A nằm ngoài đường thẳng BC, chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với BC.
- Do đó, ba điểm M, A, N phải thẳng hàng. (*)
Từ (1) and (3), ta có AM = BC và AN = BC.
=> AM = AN. ()
- Từ (*) và (), ta đã chứng minh được A chính là trung điểm của đoạn thẳng MN.
(Điều phải chứng minh)

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack

- Xét $△ A D M$ và $△ C D B$ , ta có:
+ DM = DB (theo giả thiết, M thuộc tia đối của DB sao cho DM = DB)
+ $\hat{A D M} = \hat{C D B}$ (hai góc đối đỉnh)
+ AD = CD (vì D là trung điểm của cạnh AC)
=> Do đó, $△ A D M = △ C D B$ theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c.g.c).
- Từ sự bằng nhau này, ta suy ra hai điều quan trọng:
AM = BC (1) (hai cạnh tương ứng bằng nhau).
$\hat{D A M} = \hat{D C B}$ (hai góc tương ứng bằng nhau).
- Vì $\hat{D A M}$ và $\hat{D C B}$ ở vị trí so le trong so với đường thẳng AC, nên ta kết luận: AM // BC (2).
- Tương tự, xét $△ A E N$ và $△ B E C$ , ta có:
EN = EC (theo giả thiết, N thuộc tia đối của EC sao cho EN = EC)
$\hat{A E N} = \hat{B E C}$ (hai góc đối đỉnh)
AE = BE (vì E là trung điểm của cạnh AB)
Do đó, $△ A E N = △ B E C$ theo trường hợp cạnh-góc-cạnh (c.g.c).
=> Từ sự bằng nhau này, ta cũng suy ra hai điều tương ứng:
AN = BC (3) (hai cạnh tương ứng bằng nhau).
$\hat{E A N} = \hat{E B C}$ (hai góc tương ứng bằng nhau).
- Vì $\hat{E A N}$ và $\hat{E B C}$ ở vị trí so le trong so với đường thẳng AB, nên ta kết luận: AN // BC (4).
- Từ (2) và (4), ta có AM // BC và AN // BC. Theo tiên đề Euclid về đường thẳng song song, qua một điểm A nằm ngoài đường thẳng BC, chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với BC.
- Do đó, ba điểm M, A, N phải thẳng hàng. (*)
Từ (1) and (3), ta có AM = BC và AN = BC.
=> AM = AN. ()
- Từ (*) và (), ta đã chứng minh được A chính là trung điểm của đoạn thẳng MN.
(Điều phải chứng minh)

Answer 3

Để chứng minh $A$ là trung điểm của $MN$, chúng ta cần chứng minh hai điều: ba điểm $M, A, N$ thẳng hàng và độ dài đoạn thẳng $AM = AN$.
Bài toán này sẽ được giải quyết bằng cách chứng minh các tam giác bằng nhau để suy ra các cặp cạnh bằng nhau và các cặp góc so le trong bằng nhau.

1. Chứng minh $AM = BC$ và $AM \parallel BC$
Xét hai tam giác: $\triangle AMD$ và $\triangle CBD$.
Các yếu tố bằng nhau:$DM = DB$ (theo giả thiết).
$\widehat{ADM} = \widehat{CDB}$ (hai góc đối đỉnh).
$AD = CD$ (vì $D$ là trung điểm của $AC$).

Kết luận: $\triangle AMD = \triangle CBD$ (trường hợp cạnh - góc - cạnh).
Hệ quả:Về cạnh: $AM = BC$ (hai cạnh tương ứng).
Về góc: $\widehat{MAD} = \widehat{BCD}$ (hai góc tương ứng).

Song song: Vì hai góc $\widehat{MAD}$ và $\widehat{BCD}$ nằm ở vị trí so le trong nên $AM \parallel BC$.

2. Chứng minh $AN = BC$ và $AN \parallel BC$
Xét hai tam giác: $\triangle ANE$ và $\triangle CBE$.
Các yếu tố bằng nhau:$EN = EC$ (theo giả thiết).
$\widehat{AEN} = \widehat{BEC}$ (hai góc đối đỉnh).
$AE = BE$ (vì $E$ là trung điểm của $AB$).

Kết luận: $\triangle ANE = \triangle CBE$ (trường hợp cạnh - góc - cạnh).
Hệ quả:Về cạnh: $AN = BC$ (hai cạnh tương ứng).
Về góc: $\widehat{NAE} = \widehat{CBE}$ (hai góc tương ứng).

Song song: Vì hai góc $\widehat{NAE}$ và $\widehat{CBE}$ nằm ở vị trí so le trong nên $AN \parallel BC$.

3. Kết luận $A$ là trung điểm của $MN$
Từ các kết quả trên, ta có:
Chứng minh thẳng hàng: Ta có $AM \parallel BC$ và $AN \parallel BC$. Theo tiên đề Euclid, qua điểm $A$ chỉ có duy nhất một đường thẳng song song với $BC$. Do đó, ba điểm $M, A, N$ phải thẳng hàng.
Chứng minh bằng nhau: Ta có $AM = BC$ và $AN = BC$, suy ra $AM = AN$ (cùng bằng $BC$).

Vì ba điểm $M, A, N$ thẳng hàng và $A$ cách đều hai điểm $M, N$ nên $A$ là trung điểm của $MN$ (Điều phải chứng minh).

...Xem thêm

Answer 4