Bài 12: Tìm số lượng khẩu trang
Số lượng khẩu trang ban đầu là \(1440\) chiếc (nếu khoảng cho trước bị viết nhầm, đúng chuẩn phải là từ \(1000\) đến \(1500\) chiếc) hoặc không có số lượng nào thỏa mãn nếu giới hạn nghiêm ngặt từ \(1000\) đến \(1200\) chiếc. 

1. Tính số khẩu trang trong mỗi hộp ban đầu
Mỗi gói có \(10\) chiếc khẩu trang.
Mỗi hộp chứa \(24\) gói.
Số khẩu trang trong một hộp là:
\(10\times 24=240\text{\ (chic)}\)

2. Lập luận tìm bội chung
Gọi số khẩu trang cần tìm là \(N\) (\(N \in \mathbb{N}^*\)).
Vì xếp vào các hộp \(240\) chiếc hay hộp \(45\) chiếc đều vừa đủ, nên: 
\(N \vdots 240\)
\(N \vdots 45\) 

Suy ra \(N\) là bội chung của \(240\) và \(45\). 

3. Tìm bội chung nhỏ nhất (BCNN)
Phân tích các số ra thừa số nguyên tố:
\(240 = 2^4 \times 3 \times 5\)
\(45 = 3^2 \times 5\)

\(\text{BCNN}(240,45)=2^{4}\times 3^{2}\times 5=720\)
Do đó, \(N \in \text{BC}(240, 45) = \{0; 720; 1440; 2160; \dots\}\)

4. Đối chiếu điều kiện
Nếu đề bài gốc có khoảng từ \(1000\) đến \(1500\) chiếc, ta chọn được \(N = 1440\).
Nếu giữ nguyên khoảng từ \(1000\) đến \(1200\) chiếc như bạn viết, không có số nào thỏa mãn. 

Bài 13: Chứng minh tính chất chia hết của biểu thức \(A\)
Cho biểu thức:
\(A=5+5^{2}+5^{3}+5^{4}+\dots +5^{18}\)

1. Chứng minh \(A \vdots 5\)
Tất cả các số hạng của \(A\) đều là lũy thừa của \(5\) với số mũ nguyên dương.
Do đó, mọi số hạng trong tổng đều chia hết cho \(5\).
Suy ra:
\(A\vdots 5\)

2. Chứng minh \(A \vdots 6\)
Biểu thức \(A\) có tổng cộng \(18\) số hạng.
Ta nhóm các số hạng thành từng cặp (mỗi nhóm \(2\) số hạng):
\(A=(5+5^{2})+(5^{3}+5^{4})+\dots +(5^{17}+5^{18})\)
\(A=5\times (1+5)+5^{3}\times (1+5)+\dots +5^{17}\times (1+5)\)
\(A=5\times 6+5^{3}\times 6+\dots +5^{17}\times 6\)
\(A=6\times (5+5^{3}+\dots +5^{17})\)
Vì có thừa số \(6\) nên:
\(A\vdots 6\)

3. Chứng minh \(A \vdots 31\)
Ta nhóm các số hạng thành từng bộ ba (mỗi nhóm \(3\) số hạng):
\(A=(5+5^{2}+5^{3})+(5^{4}+5^{5}+5^{6})+\dots +(5^{16}+5^{17}+5^{18})\)
\(A=5\times (1+5+5^{2})+5^{4}\times (1+5+5^{2})+\dots +5^{16}\times (1+5+5^{2})\)
\(A=5\times (1+5+25)+5^{4}\times (1+5+25)+\dots +5^{16}\times (1+5+25)\)
\(A=5\times 31+5^{4}\times 31+\dots +5^{16}\times 31\)
\(A=31\times (5+5^{4}+\dots +5^{16})\)
Vì có thừa số \(31\) nên:
\(A\vdots 31\)

✅ Kết luận
Số lượng khẩu trang ban đầu là \(1440\) chiếc (với điều kiện khoảng từ \(1000\) đến \(1500\) chiếc). Các biểu thức \(A\) đều đã được chứng minh chia hết cho \(5\), \(6\), và \(31\) bằng phương pháp đặt thừa số chung và nhóm số hạng. 
 

b 12

Mỗi gói có 10 chiếc. Mỗi hộp có 24 gói \(\Rightarrow \) Mỗi hộp lớn chứa: \(24 \times 10 = 240\) chiếc.
Vì xếp vừa đủ số hộp nên tổng số khẩu trang \(x\) phải chia hết cho 240 và chia hết cho 45.
Ta tìm \(\text{BCNN}(240; 45) = 720\).
Các bội của 720 là: \(\{720; 1440; 2160; \dots\}\)
Nhận xét: Không có số nào nằm trong khoảng từ 1000 đến 1200. Đề bài chuẩn gốc của bài này thường cho khoảng từ 1000 đến 1500 chiếc. Khi đó đáp số chính xác phải là 1440 chiếc.

Bài 13: Chứng minh tính chất chia hết của biểu thức A
Cho \(A = 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + \dots + 5^{18}\) (Tổng này có tất cả 18 số hạng).

a) Chứng minh \(A \ \vdots \ 5\)
Ta đặt thừa số chung là 5 ra ngoài:
\(A=5\cdot (1+5+5^{2}+5^{3}+\dots +5^{17})\)
Vì có thừa số 5 trong tích nên \(A \ \vdots \ 5\) (Điều phải chứng minh).

b) Chứng minh \(A \ \vdots \ 6\)
Nhóm các số hạng của \(A\) thành từng cặp 2 số (vì 18 chia hết cho 2):
\(A=(5+5^{2})+(5^{3}+5^{4})+\dots +(5^{17}+5^{18})\)
\(A=5\cdot (1+5)+5^{3}\cdot (1+5)+\dots +5^{17}\cdot (1+5)\)
\(A=5\cdot 6+5^{3}\cdot 6+\dots +5^{17}\cdot 6\)
\(A=6\cdot (5+5^{3}+\dots +5^{17})\)
Vì biểu thức có thừa số 6 nên \(A \ \vdots \ 6\) (Điều phải chứng minh).

c) Chứng minh \(A \ \vdots \ 31\)
Nhóm các số hạng của \(A\) thành từng nhóm 3 số (vì 18 chia hết cho 3):
\(A=(5+5^{2}+5^{3})+(5^{4}+5^{5}+5^{6})+\dots +(5^{16}+5^{17}+5^{18})\)
\(A=5\cdot (1+5+5^{2})+5^{4}\cdot (1+5+5^{2})+\dots +5^{16}\cdot (1+5+5^{2})\)
Ta tính giá trị trong ngoặc: \(1 + 5 + 5^2 = 1 + 5 + 25 = 31\). Thay vào ta được:
\(A=5\cdot 31+5^{4}\cdot 31+\dots +5^{16}\cdot 31\)
\(A=31\cdot (5+5^{4}+\dots +5^{16})\)
Vì biểu thức có thừa số 31 nên \(A \ \vdots \ 31\) (Điều phải chứng minh).

NẾU NÓ LỖI THÌ ĐÁP ÁN Ở CÂU HỎI CỦA B
Dưới đây là lời giải chi tiết cho hai bài toán của bạn. Chúng ta sẽ cùng giải quyết từng bài một cách rõ ràng nhé!

Bài 12: Tìm số lượng khẩu trang
Phân tích đề bài:
Mỗi gói có $10$ chiếc khẩu trang.
Mỗi hộp chứa $24$ gói $\Rightarrow$ Mỗi hộp chứa: $24 \times 10 = 240$ (chiếc khẩu trang).
Vì xếp vào các hộp này thì vừa đủ, nên tổng số khẩu trang phải là một số chia hết cho 240.
Nếu đóng vào các hộp mỗi hộp $45$ chiếc thì cũng vừa đủ, nên tổng số khẩu trang cũng phải chia hết cho 45.
Gọi số khẩu trang ban đầu là $x$ (chiếc). Điều kiện: $1000 \le x \le 1200$ và $x \in \mathbb{N}^*$.
Lời giải:
Từ phân tích trên, ta có $x$ là bội chung của $240$ và $45$. Do đó: $x \in BC(240, 45)$.

Bước 1: Tìm BCNN(240, 45)

Phân tích ra thừa số nguyên tố:

$240 = 2^4 \times 3 \times 5$
$45 = 3^2 \times 5$
$BCNN(240, 45) = 2^4 \times 3^2 \times 5 = 16 \times 9 \times 5 = 720$
Bước 2: Tìm các bội của 720

$BC(240, 45) = B(720) = \{0; 720; 1440; 2160; ...\}$
Bước 3: Đối chiếu điều kiện

Theo đề bài, số khẩu trang trong khoảng từ $1000$ đến $1200$ chiếc ($1000 \le x \le 1200$).
Nhìn vào tập hợp các bội trên, ta thấy không có số nào thỏa mãn nằm trong khoảng từ $1000$ đến $1200$ (chỉ có $720$ nhỏ hơn $1000$ và $1440$ lớn hơn $1200$).
Lưu ý về đề bài: Rất có thể đề bài có một chút nhầm lẫn ở số liệu khoảng (ví dụ: từ 500 - 800 thì đáp số là 720, hoặc từ 1400 - 1500 thì đáp số là 1440). Nếu giữ đúng số liệu đề bài cho, kết luận sẽ là không có số lượng khẩu trang nào thỏa mãn.
Bài 13: Chứng minh tính chất chia hết của tổng A
Cho biểu thức: $A = 5 + 5^2 + 5^3 + 5^4 + ... + 5^{18}$

(Lưu ý: Mình hiểu đề bài của bạn $52, 53, 54...$ là các số mũ $5^2, 5^3, 5^4...$ nhé).

Tổng $A$ có tất cả $18$ số hạng.

a) Chứng minh $A \ \vdots \ 5$
Ta thấy tất cả các số hạng trong tổng $A$ đều là các lũy thừa của $5$ với số mũ nguyên dương:

$5 \ \vdots \ 5$
$5^2 \ \vdots \ 5$
...
$5^{18} \ \vdots \ 5$
Vì mọi số hạng của $A$ đều chia hết cho $5$ nên tổng $A$ chắc chắn chia hết cho $5$.

$\Rightarrow A \ \vdots \ 5 \quad \text{(đpcm)}$
b) Chứng minh $A \ \vdots \ 6$
Vì $A$ có $18$ số hạng, ta có thể nhóm các số hạng thành các cặp (mỗi nhóm $2$ số hạng), tổng cộng có $18 : 2 = 9$ nhóm:

$A = (5 + 5^2) + (5^3 + 5^4) + ... + (5^{17} + 5^{18})$
$A = 5(1 + 5) + 5^3(1 + 5) + ... + 5^{17}(1 + 5)$
$A = 5 \times 6 + 5^3 \times 6 + ... + 5^{17} \times 6$
$A = 6 \times (5 + 5^3 + ... + 5^{17})$
Vì tích có thừa số $6$ nên $A \ \vdots \ 6$.

$\Rightarrow A \ \vdots \ 6 \quad \text{(đpcm)}$
c) Chứng minh $A \ \vdots \ 31$
Vì $A$ có $18$ số hạng, ta có thể nhóm các số hạng thành các bộ $3$ (mỗi nhóm $3$ số hạng), tổng cộng có $18 : 3 = 6$ nhóm:

$A = (5 + 5^2 + 5^3) + (5^4 + 5^5 + 5^6) + ... + (5^{16} + 5^{17} + 5^{18})$
$A = 5(1 + 5 + 5^2) + 5^4(1 + 5 + 5^2) + ... + 5^{16}(1 + 5 + 5^2)$
Ta tính giá trị trong ngoặc: $1 + 5 + 5^2 = 1 + 5 + 25 = 31$. Thay vào biểu thức:

$A = 5 \times 31 + 5^4 \times 31 + ... + 5^{16} \times 31$
$A = 31 \times (5 + 5^4 + ... + 5^{16})$
Vì tích có thừa số $31$ nên $A \ \vdots \ 31$.

$\Rightarrow A \ \vdots \ 31 \quad \text{(đpcm)}$

Bài `12`
Số lượng khẩu trang trong mỗi hộp (loại `24` gói) là:  

\(24 \times 10 = 240\) (chiếc).

Gọi số khẩu trang cần tìm là \(x\) (chiếc). Điều kiện: \(1000 \le x \le 1200\).

Theo đề bài, \(x\) chia hết cho 240 và \(x\) chia hết cho `45`.

Nên \(x \in BC(240, 45)\).

Phân tích ra thừa số nguyên tố: \(240 = 2^4 \times 3 \times 5\) và \(45 = 3^2 \times 5\).

BCNN(240, 45) = \(2^4 \times 3^2 \times 5 = 720\).

Do đó, \(x\) là bội của `720 `và thỏa mãn \(1000 \le x \le 1200\).

Ta có các bội của` 720 `là: \(0, 720, 1440, ...\)

Vì \(1000 \le x \le 1200\), nên ta chọn \(x = 720 \times 2 = 1440\) (vượt quá khoảng cho phép).

Kết luận: Đề bài có thể bị nhầm lẫn khoảng giá trị hoặc dữ kiện. Nếu số khẩu trang trong khoảng `1400` - `1500` chiếc, đáp án sẽ là `1440 `chiếc.