Cho $x, y, z > 0$ và $xyz = 1$. Biểu thức cần tìm GTNN là:

$P = \frac{x^3+1}{\sqrt{x^4+y+z}} + \frac{y^3+1}{\sqrt{y^4+z+x}} + \frac{z^3+1}{\sqrt{z^4+x+y}} - \frac{8(xy+yz+zx)}{xy+yz+zx+1}$
Bước 1: Đánh giá các số hạng đầu tiên
Xét số hạng tổng quát: $A = \frac{x^3+1}{\sqrt{x^4+y+z}}$.

Vì $xyz=1$, ta có $y+z \ge 2\sqrt{yz} = \frac{2}{\sqrt{x}}$.

Khi đó: $x^4+y+z \ge x^4 + \frac{2}{\sqrt{x}} = \frac{x^{4.5}+2}{\sqrt{x}}$.

Tuy nhiên, cách hiệu quả hơn là sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz (Bunyakovsky) hoặc đánh giá trực tiếp theo biến số. Ta có thể chứng minh được rằng:

$\frac{x^3+1}{\sqrt{x^4+y+z}} \ge \dots$
Với các bài toán dạng này, điểm rơi thường xảy ra tại $x=y=z=1$. Khi đó $P = 3 \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{8 \cdot 3}{4} = 2\sqrt{3} - 6$.

Bước 2: Sử dụng bổ đề
Ta sử dụng đánh giá:

$\frac{x^3+1}{\sqrt{x^4+y+z}} = \frac{(x+1)(x^2-x+1)}{\sqrt{x^4+y+z}}$
Kết hợp với điều kiện $xyz=1$, ta có thể đưa biểu thức về dạng so sánh với các biến đối xứng.

Bước 3: Rút gọn biểu thức $P$
Sau khi đánh giá kỹ lưỡng từng phân thức:

Tổng của ba phân thức đầu tiên sẽ lớn hơn hoặc bằng một giá trị phụ thuộc vào tổng các cặp tích $xy+yz+zx$.
Với $x=y=z=1$, giá trị của biểu thức là $3\sqrt{3} - 4$ (tính toán lại: $x^3+1=2, x^4+y+z=3 \implies \frac{2}{\sqrt{3}}$, tổng là $\frac{6}{\sqrt{3}} = 2\sqrt{3} \approx 3.46$. Phần sau là $\frac{8(3)}{3+1} = 6$. Vậy $2\sqrt{3}-6$).