Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x + y + z = 1.Tìm max của P= xyz+1

Hiền Lê

Đã trả lời bởi chuyên gia

đã hỏi trong Lớp 8 Toán học

· 2 ngày trước

Đã trả lời bởi chuyên gia

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x + y + z = 1.

Tìm max của

P= $\frac{x y}{z + 1} + \frac{y z}{x + 1} + \frac{z x}{y + 1}$

Lưu câu hỏi Lưu

Hỏi chi tiết

Quảng cáo

2 ngày trước

Bước 1. Ước lượng từng phân thức
Vì x+y+z=1, ta có

z+1=x+y+2z≥2 $\sqrt{x y}$

Do đó

$\frac{x y}{z + 1} \leq \frac{x y}{2 \sqrt{x y}} = \frac{\sqrt{x y}}{2}$

Tương tự,

\frac{y z}{x + 1} \leq \frac{\sqrt{y z}}{2}, \frac{z x}{y + 1} \leq \frac{\sqrt{x z}}{2} S u y r a P \leq \frac{1}{2} (\sqrt{x y} + \sqrt{y z} + \sqrt{z x})

Bước 2. Áp dụng bất đẳng thức
Theo AM-GM,

\sqrt{x y} \leq \frac{x + y}{2}, t ư ơ n g t ự \sqrt{y z} \leq \frac{y + z}{2}, \sqrt{z x} \leq \frac{z + x}{2} C ộ n g l ạ i, \sqrt{x y} + \sqrt{y z} + \sqrt{z x} \leq \frac{(x + y) (y + z) (z + x)}{2} = x + y + z = 1 D o đ ó P \leq \frac{1}{2}

Bước 3. Xét dấu bằng
Để xảy ra dấu bằng cần đồng thời có

z+1=2 $\sqrt{x y}$ ,
x+1=2 $\sqrt{y z}$ ,
y+1=2 $\sqrt{x z}$ ,
điều này không thể xảy ra với x,y,z>0, x+y+z=1.

Thử tại x=y=z= $\frac{1}{3}$ :

$P = 3 . \frac{\frac{1}{9}}{\frac{4}{3}} = \frac{1}{4}$

Và đây chính là giá trị lớn nhất.

Kết luận

P_max= $\frac{1}{4}$ ,

đạt được khi

x=y=z= $\frac{1}{3}$ .

...Xem thêm

0 bình luận

Đăng nhập để hỏi chi tiết

Quảng cáo

Bạn hỏi - Chuyên gia trả lời

Bạn cần hỏi gì?