a) Chứng minh \(BM \perp AC\)
Gọi \(H\) là trung điểm của cạnh đáy \(BC\).
Do \(\triangle ABC\) cân tại \(A\), đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\) đồng thời cũng chính là đường cao \(AH\) hạ từ đỉnh \(A\).
Theo đề bài, điểm \(M\) thuộc đường trung trực của \(BC\), nghĩa là điểm \(M\) nằm trên đường thẳng \(AH\).
Xét tam giác \(ABC\), ta có:\(AH\) là đường cao thứ nhất (\(AH \perp BC\)).
\(CD\) là đường cao thứ hai (\(CD \perp AB\)).
Giao điểm \(M\) của \(AH\) và \(CD\) chính là trực tâm (giao điểm của 3 đường cao) của \(\triangle ABC\).

Do trực tâm của tam giác là duy nhất, đường thẳng đi qua đỉnh thứ ba \(B\) và trực tâm \(M\) (tức là đường thẳng \(BM\)) bắt buộc phải là đường cao thứ ba của tam giác.
\(\Rightarrow BM\perp AC\quad \text{(đpcm)}\)

b) Tính góc \(BMD\) khi biết \(\widehat{ABC} = 70^\circ\)

Do \(\triangle ABC\) cân tại \(A\) nên \(\widehat{ACB} = \widehat{ABC} = 70^\circ\).
Xét tam giác vuông \(BCD\) (vuông tại \(D\) vì \(CD \perp AB\)):
\(\widehat{BCD}=90^{\circ }-\widehat{ABC}=90^{\circ }-70^{\circ }=20^{\circ }\)
Vì \(M\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\) nên ta có \(MB = MC\). Do đó, tam giác \(MBC\) cân tại đỉnh \(M\).
\(\Rightarrow \widehat{MBC}=\widehat{MCB}=\widehat{BCD}=20^{\circ }\)
Xét góc \(\widehat{BMD}\): Đây chính là góc ngoài tại đỉnh \(M\) của tam giác \(MBC\) (vì ba điểm \(C, M, D\) thẳng hàng). Theo tính chất góc ngoài của tam giác:
\(\widehat{BMD}=\widehat{MBC}+\widehat{MCB}=20^{\circ }+20^{\circ }=40^{\circ }\)

Vậy số đo góc \(\widehat{BMD} = 40^\circ\).

a) Chứng minh BM vuông góc với AC
Vì tam giác ABC cân tại A, nên đường trung trực của cạnh đáy BC cũng chính là đường cao kẻ từ đỉnh A. Gọi đường thẳng này là AH (với H thuộc BC).
Điểm M là giao điểm của đường trung trực AH và đường cao CD.
Do đó, M là trực tâm (giao điểm của các đường cao) của tam giác ABC.
Trong một tam giác, 3 đường cao luôn đồng quy. Vì M là trực tâm nên đường thẳng đi qua đỉnh còn lại là BM cũng phải là đường cao.

=> BM vuông góc với AC.

b) Tính số đo góc BMD biết góc ABC = 70 độ
Vì tam giác ABC cân tại A nên góc ACB = góc ABC = 70 độ.
Tổng 3 góc trong một tam giác bằng 180 độ. Suy ra góc A = 180 - 70 - 70 = 40 độ.
Gọi E là giao điểm của BM và AC. Theo câu a, BM vuông góc với AC nên tam giác ABE vuông tại E.
Trong tam giác vuông ABE, ta có: góc ABE = 90 - góc A = 90 - 40 = 50 độ. (Góc ABE này cũng chính là góc MBD).
Xét tam giác BDM vuông tại D (vì CD là đường cao nên CD vuông góc với AB).
Ta có: góc BMD = 90 - góc MBD = 90 - 50 = 40 độ.

Kết luận: Góc BMD = 40 độ.

a) Chứng minh BM vuông góc với AC
Vì tam giác ABC cân tại A, nên đường trung trực của cạnh đáy BC cũng chính là đường cao kẻ từ đỉnh A. Gọi đường thẳng này là AH (với H thuộc BC).
Điểm M là giao điểm của đường trung trực AH và đường cao CD.
Do đó, M là trực tâm (giao điểm của các đường cao) của tam giác ABC.
Trong một tam giác, 3 đường cao luôn đồng quy. Vì M là trực tâm nên đường thẳng đi qua đỉnh còn lại là BM cũng phải là đường cao.

=> BM vuông góc với AC.

b) Tính số đo góc BMD biết góc ABC = 70 độ
Vì tam giác ABC cân tại A nên góc ACB = góc ABC = 70 độ.
Tổng 3 góc trong một tam giác bằng 180 độ. Suy ra góc A = 180 - 70 - 70 = 40 độ.
Gọi E là giao điểm của BM và AC. Theo câu a, BM vuông góc với AC nên tam giác ABE vuông tại E.
Trong tam giác vuông ABE, ta có: góc ABE = 90 - góc A = 90 - 40 = 50 độ. (Góc ABE này cũng chính là góc MBD).
Xét tam giác BDM vuông tại D (vì CD là đường cao nên CD vuông góc với AB).
Ta có: góc BMD = 90 - góc MBD = 90 - 50 = 40 độ.

Kết luận: Góc BMD = 40 độ.

BM vuông góc với AC và \(\widehat{BMD} = 40^\circ\) là các kết quả chính xác của bài toán này.
Dưới đây là lời giải chứng minh chi tiết từng bước bằng phương pháp hình học phẳng.

1. Chứng minh BM vuông góc với AC
Xét tính chất đường trung trực: Vì điểm \(M\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\), theo tính chất đường trung trực, ta có:
\(MB=MC\)
Xét tam giác cân: Do \(MB = MC\), tam giác \(MBC\) cân tại \(M\). Suy ra hai góc ở đáy bằng nhau:
\(\widehat{MBC}=\widehat{MCB}\)
Sử dụng tính chất tam giác cân \(ABC\): Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên góc ở đáy bằng nhau:
\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)
Trừ các góc tương ứng: Ta thực hiện phép trừ góc trên hai góc đáy của tam giác \(ABC\):
\(\widehat{ABC}-\widehat{MBC}=\widehat{ACB}-\widehat{MCB}\)
\(\Rightarrow \widehat{ABM}=\widehat{ACM}\)
Xét hai tam giác: Xét \(\triangle ABM\) và \(\triangle ACM\) có:\(AB = AC\) (do \(\triangle ABC\) cân tại \(A\))
\(AM\) là cạnh chung
\(MB = MC\) (chứng minh trên)

Do đó, \(\triangle ABM = \triangle ACM\) (c.c.c). Suy ra các góc tương ứng bằng nhau:
\(\widehat{ABM}=\widehat{ACM}\)
Chứng minh góc vuông: Gọi \(E\) là giao điểm của \(BM\) và \(AC\). Xét \(\triangle EDC\) và \(\triangle EBM\):\(\widehat{EDC} = 90^\circ\) (do \(CD \perp AB\))
\(\widehat{DMC} = \widehat{BME}\) (hai góc đối đỉnh)
Suy ra \(\triangle EDC \sim \triangle EBM\) (g.g), dẫn đến:
\(\widehat{BEM}=\widehat{CDE}=90^{\circ }\)

Vậy \(BM \perp AC\) tại \(E\).

2. Tính số đo góc BMD khi \(\widehat{ABC} = 70^\circ\)
Tính các góc đáy của tam giác cân: Vì \(\triangle ABC\) cân tại \(A\) nên:
\(\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=70^{\circ }\)
Tính góc trong tam giác vuông \(BDC\): Xét tam giác \(BDC\) vuông tại \(D\) (do \(CD\) là đường cao), ta có:
\(\widehat{DCB}=90^{\circ }-\widehat{ABC}=90^{\circ }-70^{\circ }=20^{\circ }\)
Sử dụng lại tính chất tam giác cân \(MBC\): Vì \(\triangle MBC\) cân tại \(M\) nên:
\(\widehat{MBC}=\widehat{DCB}=20^{\circ }\)
Tính góc ngoài tại đỉnh \(M\): Xét \(\triangle MBC\), góc \(\widehat{BMD}\) chính là góc ngoài tại đỉnh \(M\) của tam giác này. Theo tính chất góc ngoài của tam giác, nó bằng tổng hai góc trong không kề với nó:
\(\widehat{BMD}=\widehat{MBC}+\widehat{DCB}\)
\(\widehat{BMD}=20^{\circ }+20^{\circ }=40^{\circ }\)

Kết luận

✅ Kết quả bài toán
a) Đã chứng minh được \(BM \perp AC\).
b) Số đo góc cần tìm là \(\widehat{BMD} = 40^\circ\).

BM vuông góc với AC và \(\widehat{BMD} = 40^\circ\) là các kết quả chính xác của bài toán này.
Dưới đây là lời giải chứng minh chi tiết từng bước bằng phương pháp hình học phẳng.

1. Chứng minh BM vuông góc với AC
Xét tính chất đường trung trực: Vì điểm \(M\) nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng \(BC\), theo tính chất đường trung trực, ta có:
\(MB=MC\)
Xét tam giác cân: Do \(MB = MC\), tam giác \(MBC\) cân tại \(M\). Suy ra hai góc ở đáy bằng nhau:
\(\widehat{MBC}=\widehat{MCB}\)
Sử dụng tính chất tam giác cân \(ABC\): Tam giác \(ABC\) cân tại \(A\) nên góc ở đáy bằng nhau:
\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)
Trừ các góc tương ứng: Ta thực hiện phép trừ góc trên hai góc đáy của tam giác \(ABC\):
\(\widehat{ABC}-\widehat{MBC}=\widehat{ACB}-\widehat{MCB}\)
\(\Rightarrow \widehat{ABM}=\widehat{ACM}\)
Xét hai tam giác: Xét \(\triangle ABM\) và \(\triangle ACM\) có:\(AB = AC\) (do \(\triangle ABC\) cân tại \(A\))
\(AM\) là cạnh chung
\(MB = MC\) (chứng minh trên)

Do đó, \(\triangle ABM = \triangle ACM\) (c.c.c). Suy ra các góc tương ứng bằng nhau:
\(\widehat{ABM}=\widehat{ACM}\)
Chứng minh góc vuông: Gọi \(E\) là giao điểm của \(BM\) và \(AC\). Xét \(\triangle EDC\) và \(\triangle EBM\):\(\widehat{EDC} = 90^\circ\) (do \(CD \perp AB\))
\(\widehat{DMC} = \widehat{BME}\) (hai góc đối đỉnh)
Suy ra \(\triangle EDC \sim \triangle EBM\) (g.g), dẫn đến:
\(\widehat{BEM}=\widehat{CDE}=90^{\circ }\)

Vậy \(BM \perp AC\) tại \(E\).

2. Tính số đo góc BMD khi \(\widehat{ABC} = 70^\circ\)
Tính các góc đáy của tam giác cân: Vì \(\triangle ABC\) cân tại \(A\) nên:
\(\widehat{ACB}=\widehat{ABC}=70^{\circ }\)
Tính góc trong tam giác vuông \(BDC\): Xét tam giác \(BDC\) vuông tại \(D\) (do \(CD\) là đường cao), ta có:
\(\widehat{DCB}=90^{\circ }-\widehat{ABC}=90^{\circ }-70^{\circ }=20^{\circ }\)
Sử dụng lại tính chất tam giác cân \(MBC\): Vì \(\triangle MBC\) cân tại \(M\) nên:
\(\widehat{MBC}=\widehat{DCB}=20^{\circ }\)
Tính góc ngoài tại đỉnh \(M\): Xét \(\triangle MBC\), góc \(\widehat{BMD}\) chính là góc ngoài tại đỉnh \(M\) của tam giác này. Theo tính chất góc ngoài của tam giác, nó bằng tổng hai góc trong không kề với nó:
\(\widehat{BMD}=\widehat{MBC}+\widehat{DCB}\)
\(\widehat{BMD}=20^{\circ }+20^{\circ }=40^{\circ }\)

Kết luận

✅ Kết quả bài toán
a) Đã chứng minh được \(BM \perp AC\).
b) Số đo góc cần tìm là \(\widehat{BMD} = 40^\circ\).