Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

chịu thua

Answer 2

1. Chứng minh tứ giác \(EGFH\) là hình bình hành
Trong \(\triangle NAB\):Có \(E\) là trung điểm của \(NA\), \(F\) là trung điểm của \(NB\).
Suy ra \(EF\) là đường trung bình của \(\triangle NAB\).
Do đó, \(EF \parallel AB\) và \(EF = \frac{1}{2}AB\) \((1)\).

Trong \(\triangle MAB\):Đề bài cho \(M\) là trung điểm của \(AB\), nên ta có \(MA = MB = \frac{1}{2}AB\).

Xét hệ điểm đối xứng qua trung điểm:Gọi \(O\) là trung điểm của \(MN\). Ta sẽ xét vị trí của các đoạn \(EG\) và \(FH\).
Trong \(\triangle NMC\): có \(G\) là trung điểm của \(MC\), \(O\) là trung điểm của \(MN\), nên \(OG\) là đường trung bình của \(\triangle NMC \Rightarrow OG \parallel NC\) và \(OG = \frac{1}{2}NC\).
Tương tự, xét trong \(\triangle NDC\): có \(H\) là trung điểm của \(MD\), \(O\) là trung điểm của \(MN\), nên \(OH \parallel NC\) và \(OH = \frac{1}{2}NC\).
Từ đó suy ra \(G, O, H\) thẳng hàng và \(O\) là trung điểm của \(GH\). [1]

Xét tứ giác có các đỉnh là trung điểm:Nhìn theo cách khác, trong \(\triangle NAC\): \(E\) là trung điểm \(NA\), \(G\) là trung điểm \(MC\). Để liên kết trực tiếp hơn, ta nối \(E, F, G, H\) và chứng minh qua hệ thức vectơ hoặc qua một hình bình hành trung gian.
Ta biểu diễn các vectơ để thấy rõ tính chất song song và bằng nhau:
\(\vec{EF}=\vec{NF}-\vec{NE}=\frac{1}{2}\vec{NB}-\frac{1}{2}\vec{NA}=\frac{1}{2}\vec{AB}\)
\(\vec{HG}=\vec{MG}-\vec{MH}=\frac{1}{2}\vec{MC}-\frac{1}{2}\vec{MD}=\frac{1}{2}\vec{DC}\)
Như vậy, \(EF\) song song với \(AB\), còn \(HG\) song song với \(DC\). Cặp đường thẳng này chưa bằng nhau trực tiếp. Vì vậy, ta cần xét cặp tứ giác khác chứa đoạn \(MN\). [1]

2. Chứng minh tứ giác gồm \(MN\) và \(EF\) là hình bình hành
Xét tam giác \(\triangle NAB\) có \(E, F\) lần lượt là trung điểm của \(NA, NB\):\(\Rightarrow EF \parallel AB\) và \(EF = \frac{1}{2}AB\).
Vì \(M\) là trung điểm \(AB\) nên \(AM = \frac{1}{2}AB \Rightarrow EF = AM\) và \(EF \parallel AM\).
Do đó, tứ giác \(AMEF\) hoặc \(AMFE\) là một hình thang đặc biệt. [1, 2]

Để thuận tiện nhất, ta xét tứ giác tạo bởi hai trung điểm bất kỳ, ví dụ tứ giác ghép từ các đoạn nối trung điểm:Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN\).
Ta tính tọa độ hoặc dùng vectơ để xác định trung điểm của các đoạn thẳng:

\(\vec{E}=\frac{\vec{A}+\vec{N}}{2}=\frac{\vec{A}+\frac{\vec{C}+\vec{D}}{2}}{2}=\frac{2\vec{A}+\vec{C}+\vec{D}}{4}\)

\(\vec{F}=\frac{\vec{B}+\vec{N}}{2}=\frac{\vec{B}+\frac{\vec{C}+\vec{D}}{2}}{2}=\frac{2\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}}{4}\)
\(\vec{G}=\frac{\vec{M}+\vec{C}}{2}=\frac{\frac{\vec{A}+\vec{B}}{2}+\vec{C}}{2}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+2\vec{C}}{4}\)
\(\vec{H}=\frac{\vec{M}+\vec{D}}{2}=\frac{\frac{\vec{A}+\vec{B}}{2}+\vec{D}}{2}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+2\vec{D}}{4}\)

Tìm trung điểm của đoạn thẳng \(EF\):
\(\vec{X}_{EF}=\frac{\vec{E}+\vec{F}}{2}=\frac{2\vec{A}+2\vec{B}+2\vec{C}+2\vec{D}}{8}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}}{4}\)
Tìm trung điểm của đoạn thẳng \(GH\):
\(\vec{X}_{GH}=\frac{\vec{G}+\vec{H}}{2}=\frac{2\vec{A}+2\vec{B}+2\vec{C}+2\vec{D}}{8}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}}{4}\)
Tìm trung điểm của đoạn thẳng \(MN\):
\(\vec{M}=\frac{\vec{A}+\vec{B}}{2},\quad \vec{N}=\frac{\vec{C}+\vec{D}}{2}\)
\(\vec{X}_{MN}=\frac{\vec{M}+\vec{N}}{2}=\frac{\frac{\vec{A}+\vec{B}}{2}+\frac{\vec{C}+\vec{D}}{2}}{2}=\frac{\vec{A}+\vec{B}+\vec{C}+\vec{D}}{4}\)

c{A}+\vec{C}

3. Kết luận đồng quy
Từ các kết quả biểu diễn trên, ta nhận thấy:
Trung điểm của đoạn thẳng \(EF\) trùng với điểm \(I\left(\frac{\vec{A} + \vec{B} + \vec{C} + \vec{D}}{4}\right)\).
Trung điểm của đoạn thẳng \(GH\) cũng trùng với điểm \(I\).
Trung điểm của đoạn thẳng \(MN\) cũng trùng với điểm \(I\).

Do ba đoạn thẳng \(MN\), \(EF\), và \(GH\) có cùng một trung điểm \(I\), chúng phải cắt nhau tại chính trung điểm đó. [1]

✅ Kết luận
Ba đường thẳng \(MN\), \(EF\), và \(GH\) đồng quy tại điểm \(I\), với \(I\) là trung điểm chung của cả ba đoạn thẳng này.

+\vec{D}}{4}\)

...Xem thêm

Answer 3