<sub>Để chứng minh ba đường thẳng $MN$, $EF$ và $GH$ đồng quy (lưu ý ở đề bài bạn viết nhầm $CG$ thành $GH$ - vì $G, H$ là trung điểm của $MC, MD$ nên đoạn thẳng tương ứng phải là $GH$), chúng ta có thể sử dụng phương pháp hình học vectơ hoặc tính chất của hình bình hành.
Dưới đây là lời giải chi tiết bằng cách chứng minh các đoạn thẳng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường:

1. Phân tích đề bài
Cho tứ giác $ABCD$.
$M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, CD$.
$E, F$ lần lượt là trung điểm của $AN, BN$.
$G, H$ lần lượt là trung điểm của $CM, DM$.
Cần chứng minh $MN, EF, GH$ đồng quy.
2. Chứng minh tứ giác $MEGN$ là hình bình hành
Xét tam giác $ABN$:
$M$ là trung điểm của $AB$ (giả thiết).
$F$ là trung điểm của $BN$ (giả thiết).
=> $MF$ là đường trung bình của tam giác $ABN$.
=> $MF \parallel AN$ và $MF = \frac{1}{2}AN$.
Vì $E$ là trung điểm của $AN$ nên $AE = EN = \frac{1}{2}AN$.
Do đó, $MF \parallel EN$ và $MF = EN$.
Xét tứ giác $MEFN$:
Có cặp cạnh đối $MF$ và $EN$ vừa song song vừa bằng nhau.
=> Tứ giác $MEFN$ là hình bình hành.
Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $MN$ và $EF$ của hình bình hành $MEFN$.
=> $O$ là trung điểm của $MN$ và $O$ cũng là trung điểm của $EF$ (1).
3. Chứng minh tứ giác $MHGN$ là hình bình hành
Xét tam giác $CDM$:
$N$ là trung điểm của $CD$ (giả thiết).
$G$ là trung điểm của $CM$ (giả thiết).
=> $NG$ là đường trung bình của tam giác $CDM$.
=> $NG \parallel DM$ và $NG = \frac{1}{2}DM$.
Vì $H$ là trung điểm của $DM$ nên $DH = HM = \frac{1}{2}DM$.
Do đó, $NG \parallel HM$ và $NG = HM$.
Xét tứ giác $MHGN$:
Có cặp cạnh đối $NG$ và $HM$ vừa song song vừa bằng nhau.
=> Tứ giác $MHGN$ là hình bình hành.
Vì $MHGN$ là hình bình hành nên hai đường chéo $MN$ và $GH$ phải cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà theo (1), $O$ đã là trung điểm của $MN$.
=> $O$ cũng phải là trung điểm của $GH$ (2).
4. Kết luận
Từ (1) và (2) ta suy ra: Cả ba đường thẳng $MN$, $EF$, và $GH$ đều đi qua điểm $O$ (và $O$ là trung điểm của cả 3 đoạn thẳng này).
Vậy ba đường thẳng $MN$, $EF$, $GH$ đồng quy tại $O$.</sub>

Để chứng minh ba đường thẳng $MN$, $EF$ và $GH$ đồng quy (lưu ý ở đề bài bạn viết nhầm $CG$ thành $GH$ - vì $G, H$ là trung điểm của $MC, MD$ nên đoạn thẳng tương ứng phải là $GH$), chúng ta có thể sử dụng phương pháp hình học vectơ hoặc tính chất của hình bình hành.
Dưới đây là lời giải chi tiết bằng cách chứng minh các đoạn thẳng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường:

1. Phân tích đề bài
Cho tứ giác $ABCD$.
$M, N$ lần lượt là trung điểm của $AB, CD$.
$E, F$ lần lượt là trung điểm của $AN, BN$.
$G, H$ lần lượt là trung điểm của $CM, DM$.
Cần chứng minh $MN, EF, GH$ đồng quy.
2. Chứng minh tứ giác $MEGN$ là hình bình hành
Xét tam giác $ABN$:
$M$ là trung điểm của $AB$ (giả thiết).
$F$ là trung điểm của $BN$ (giả thiết).
=> $MF$ là đường trung bình của tam giác $ABN$.
=> $MF \parallel AN$ và $MF = \frac{1}{2}AN$.
Vì $E$ là trung điểm của $AN$ nên $AE = EN = \frac{1}{2}AN$.
Do đó, $MF \parallel EN$ và $MF = EN$.
Xét tứ giác $MEFN$:
Có cặp cạnh đối $MF$ và $EN$ vừa song song vừa bằng nhau.
=> Tứ giác $MEFN$ là hình bình hành.
Gọi $O$ là giao điểm hai đường chéo $MN$ và $EF$ của hình bình hành $MEFN$.
=> $O$ là trung điểm của $MN$ và $O$ cũng là trung điểm của $EF$ (1).
3. Chứng minh tứ giác $MHGN$ là hình bình hành
Xét tam giác $CDM$:
$N$ là trung điểm của $CD$ (giả thiết).
$G$ là trung điểm của $CM$ (giả thiết).
=> $NG$ là đường trung bình của tam giác $CDM$.
=> $NG \parallel DM$ và $NG = \frac{1}{2}DM$.
Vì $H$ là trung điểm của $DM$ nên $DH = HM = \frac{1}{2}DM$.
Do đó, $NG \parallel HM$ và $NG = HM$.
Xét tứ giác $MHGN$:
Có cặp cạnh đối $NG$ và $HM$ vừa song song vừa bằng nhau.
=> Tứ giác $MHGN$ là hình bình hành.
Vì $MHGN$ là hình bình hành nên hai đường chéo $MN$ và $GH$ phải cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
Mà theo (1), $O$ đã là trung điểm của $MN$.
=> $O$ cũng phải là trung điểm của $GH$ (2).
4. Kết luận
Từ (1) và (2) ta suy ra: Cả ba đường thẳng $MN$, $EF$, và $GH$ đều đi qua điểm $O$ (và $O$ là trung điểm của cả 3 đoạn thẳng này).
Vậy ba đường thẳng $MN$, $EF$, $GH$ đồng quy tại $O$.