Bạn Lân Anh và bạn Lân Hào, dưới đây là lời giải chi tiết cho bài toán của hai bạn nhé:
Phân tích bài toán:
Quãng đường từ Hà Nội đến Việt Trì: $70\text{ km}$.
Vận tốc dòng nước: $5\text{ km/h}$.
Vận tốc thực của tàu: $x\text{ km/h}$ (Điều kiện: $x > 5$ để tàu có thể đi ngược dòng).
Khi đi từ Hà Nội tới Việt Trì, tàu đi ngược dòng, do đó vận tốc lúc đi là: $x - 5\text{ (km/h)}$.
Khi đi từ Việt Trì về Hà Nội, tàu đi xuôi dòng, do đó vận tốc lúc về là: $x + 5\text{ (km/h)}$.
Lời giải:
a) Biểu diễn các đại lượng theo $x$:
^{i) Thời gian tàu đi ngược dòng từ Hà Nội tới Việt Trì (Phú Thọ):}
Thời gian bằng quãng đường chia cho vận tốc ngược dòng.
$t_{\text{ngược}} = \frac{70}{x - 5}\text{ (giờ)}$
^{ii) Thời gian tàu đi xuôi dòng từ Việt Trì (Phú Thọ) tới Hà Nội:}
Thời gian bằng quãng đường chia cho vận tốc xuôi dòng.
$t_{\text{xuôi}} = \frac{70}{x + 5}\text{ (giờ)}$
^{iii) Thời gian kể từ lúc tàu xuất phát đến khi tàu quay trở về Hà Nội:}
Thời gian này bao gồm: Thời gian đi ngược dòng + Thời gian nghỉ tại Việt Trì + Thời gian đi xuôi dòng.
$t_{\text{tổng}} = \frac{70}{x - 5} + 2 + \frac{70}{x + 5}\text{ (giờ)}$
b) Tính thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi tàu về tới Hà Nội:
Biết rằng vận tốc lúc ngược dòng của tàu là $20\text{ km/h}$. Ta có:
$x - 5 = 20 \Rightarrow x = 20 + 5 = 25\text{ (km/h)}$
(Vận tốc thực của tàu là $25\text{ km/h}$, thỏa mãn điều kiện $x > 5$).
Bây giờ, ta thay $x = 25$ vào biểu thức tổng thời gian ở câu (iii):
$t_{\text{tổng}} = \frac{70}{25 - 5} + 2 + \frac{70}{25 + 5}$
$t_{\text{tổng}} = \frac{70}{20} + 2 + \frac{70}{30}$
$t_{\text{tổng}} = 3,5 + 2 + \frac{7}{3}$
$t_{\text{tổng}} = 5,5 + \frac{7}{3} = \frac{11}{2} + \frac{7}{3} = \frac{33 + 14}{6} = \frac{47}{6}\text{ (giờ)}$
Đổi $\frac{47}{6}\text{ giờ}$ ra giờ và phút:
$\frac{47}{6}\text{ giờ} = 7\text{ giờ } \frac{5}{6}\text{ giờ} = 7\text{ giờ } 50\text{ phút.}$
Kết luận: Kể từ lúc xuất phát, sau 7 giờ 50 phút thì tàu về tới Hà Nội.

a) Biểu diễn các đại lượng theo x
Vận tốc ngược dòng (từ Hà Nội tới Việt Trì):
Khi đi ngược dòng, vận tốc của tàu sẽ bị dòng nước cản lại:
\(v_{ngc}=x-5\text{\ (km/h)}\)
Vận tốc xuôi dòng (từ Việt Trì về Hà Nội):
Khi đi xuôi dòng, vận tốc của tàu được dòng nước đẩy thêm:
\(v_{xuôi}=x+5\text{\ (km/h)}\)

i) Thời gian tàu đi ngược dòng từ Hà Nội tới Việt Trì:
\(t_{ngc}=\frac{\text{Quãng\ đng}}{\text{Vn\ tc\ ngc}}=\frac{70}{x-5}\text{\ (gi)}\)
ii) Thời gian tàu đi xuôi dòng từ Việt Trì tới Hà Nội:
\(t_{xuôi}=\frac{\text{Quãng\ đng}}{\text{Vn\ tc\ xuôi}}=\frac{70}{x+5}\text{\ (gi)}\)
iii) Thời gian kể từ lúc tàu xuất phát đến khi quay trở về Hà Nội:
Thời gian này bao gồm: thời gian đi ngược dòng + thời gian nghỉ tại Việt Trì (2 giờ) + thời gian đi xuôi dòng.
\(t_{tng}=\frac{70}{x-5}+2+\frac{70}{x+5}\text{\ (gi)}\)

b) Tính tổng thời gian khi biết vận tốc ngược dòng là 20 km/h
Tìm vận tốc thực x của tàu:
Theo đề bài, vận tốc ngược dòng là 20 km/h:
\(x-5=20\implies x=25\text{\ (km/h)}\)
Tính thời gian đi ngược dòng (\(t_{ngc}\)):
\(t_{ngc}=\frac{70}{20}=3,5\text{\ (gi)}\)
Tính thời gian đi xuôi dòng (\(t_{xuôi}\)):
Vận tốc xuôi dòng lúc này là: \(x + 5 = 25 + 5 = 30 \text{ (km/h)}\).
\(t_{xuôi}=\frac{70}{30}=\frac{7}{3}\text{\ (gi)}\approx 2,33\text{\ (gi)}\)
Tính tổng thời gian từ lúc xuất phát đến khi về lại Hà Nội:
\(t_{tng}=3,5+2+\frac{7}{3}=\frac{7}{2}+2+\frac{7}{3}=\frac{21+12+14}{6}=\frac{47}{6}\text{\ (gi)}\)
Đổi ra giờ và phút:
\(\frac{47}{6}\text{\ gi}=7\text{\ gi\ }\frac{5}{6}\text{\ gi}=7\text{\ gi\ }50\text{\ phút.}\)

Kết luận: Tổng thời gian kể từ lúc xuất phát đến khi tàu quay về tới Hà Nội là 7 giờ 50 phút (hoặc \(\frac{47}{6}\) giờ).