Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack

Xét $△$ ABD và $△$ MBD có:

BD chung

$\hat{B A D} = \hat{B M D} = 90 °$

$\hat{A B D} = \hat{M B D}$ (vì BD là phân giác)

Nên △ABD và △MBD (cạnh huyền - góc nhọn)

Có: $\{\begin{cases} A B = A M \\ A D = D M \end{cases}$

=> BD là đường trung trực của AM

=> BD $⊥$ AM (1)

$△$ BEC có CA, EM là các đường cao cắt nhau tại D

=> D là trực tâm của tam giác BEC

=> BD $⊥$ CE (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM // CE

Mà CE = 2AM

=> AM là đường trung bình của tam giác BEC

=> M là trung điểm BC

=> AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác ABC

=> AM = BM

Lại có AB = BM (vì△ABD và △MBD)

=> AB = BM = AM

=> $△$ ABM đều

=> $\hat{A B M} = 60 °$

=> $\hat{A C B} = 30 °$

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack

Xét $△$ ABD và $△$ MBD có:

BD chung

$\hat{B A D} = \hat{B M D} = 90 °$

$\hat{A B D} = \hat{M B D}$ (vì BD là phân giác)

Nên △ABD và △MBD (cạnh huyền - góc nhọn)

Có: $\{\begin{cases} A B = A M \\ A D = D M \end{cases}$

=> BD là đường trung trực của AM

=> BD $⊥$ AM (1)

$△$ BEC có CA, EM là các đường cao cắt nhau tại D

=> D là trực tâm của tam giác BEC

=> BD $⊥$ CE (2)

Từ (1) và (2) suy ra AM // CE

Mà CE = 2AM

=> AM là đường trung bình của tam giác BEC

=> M là trung điểm BC

=> AM là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác ABC

=> AM = BM

Lại có AB = BM (vì△ABD và △MBD)

=> AB = BM = AM

=> $△$ ABM đều

=> $\hat{A B M} = 60 °$

=> $\hat{A C B} = 30 °$

Answer 3

Đề bài cho:

Tam giác $A B C$ ABC vuông tại $A$ A, với $A B < A C$ AB<AC.
$B D$ BD là đường phân giác của góc $B$ B, $D$ D thuộc $A C$ AC.
$D M$ DM vuông góc với $B C$ BC tại $M$ M.
Đường thẳng $D M$ DM cắt $A B$ AB tại $E$ E.
Giả sử $C E = 2 A M$ CE=2AM.
Yêu cầu: Tính số đo các góc của tam giác $A B C$ ABC.

Bước 1: Phân tích và ký hiệu

Tam giác vuông tại $A$ A nên $∠ A = 9 0^{\circ}$ ∠A=90∘.
Vì $A B < A C$ AB<AC, nên góc đối diện cạnh $A B$ AB (góc $C$ C) lớn hơn góc đối diện cạnh $A C$ AC (góc $B$ B).
Gọi các góc:
$∠ B = β, ∠ C = γ, ∠ A = 9 0^{\circ}$ ∠B=β,∠C=γ,∠A=90∘
với $β + γ = 9 0^{\circ}$ β+γ=90∘.

Bước 2: Xác định các điểm và các đoạn thẳng

$B D$ BD là đường phân giác góc $B$ B, nên $D$ D thuộc $A C$ AC.
$D M ⊥ B C$ DM⊥BC tại $M$ M.
$D M$ DM cắt $A B$ AB tại $E$ E.
Cho $C E = 2 A M$ CE=2AM.

Bước 3: Thiết lập hệ tọa độ hoặc dùng lượng giác

Để dễ tính toán, ta đặt hệ trục tọa độ:

Đặt $A$ A tại gốc tọa độ $(0, 0)$ (0,0).
Vì tam giác vuông tại $A$ A, ta đặt:
- $A B$ AB nằm trên trục $x$ x, nên $B = (b, 0)$ B=(b,0) với $b > 0$ b>0.
- $A C$ AC nằm trên trục $y$ y, nên $C = (0, c)$ C=(0,c) với $c > 0$ c>0.
Vì $A B < A C$ AB<AC, ta có $b < c$ b<c.

Bước 4: Tìm tọa độ điểm

D

D

$D$ D thuộc $A C$ AC, tức $D = (0, d)$ D=(0,d) với $0 < d < c$ 0<d<c.
$B D$ BD là đường phân giác góc $B$ B.

Tính góc tại $B$ B:

Vector $B A = A - B = (0 - b, 0 - 0) = (- b, 0)$ BA=A−B=(0−b,0−0)=(−b,0).
Vector $B C = C - B = (0 - b, c - 0) = (- b, c)$ BC=C−B=(0−b,c−0)=(−b,c).

Đường phân giác góc $B$ B là đường nằm giữa hai vector $B A$ BA và $B C$ BC.

Theo tính chất đường phân giác góc, điểm $D$ D trên $A C$ AC thỏa mãn:

\frac{A D}{D C} = \frac{A B}{B C}

DCAD=BCAB

Tính các đoạn:

$A B = b$ AB=b (do $B = (b, 0)$ B=(b,0), $A = (0, 0)$ A=(0,0))
$A C = c$ AC=c
$B C = \sqrt{(0 - b)^{2} + (c - 0)^{2}} = \sqrt{b^{2} + c^{2}}$ BC=(0−b)2+(c−0)2=b2+c2

Do $D$ D nằm trên $A C$ AC, đoạn $A C$ AC có độ dài $c$ c, và $A D = d$ AD=d, $D C = c - d$ DC=c−d.

Áp dụng tính chất đường phân giác:

\frac{d}{c - d} = \frac{b}{\sqrt{b^{2} + c^{2}}} ⟹ d = \frac{b}{b + \sqrt{b^{2} + c^{2}}} c

c−dd=b2+c2b⟹d=b+b2+c2bc

Bước 5: Tìm tọa độ điểm

M

M

$M$ M thuộc $B C$ BC, $D M ⊥ B C$ DM⊥BC.
$D = (0, d)$ D=(0,d), $B = (b, 0)$ B=(b,0), $C = (0, c)$ C=(0,c).

Phương trình đường thẳng $B C$ BC:

Vector $B C = (- b, c)$ BC=(−b,c).
Phương trình tham số:

x = b - b t, y = 0 + c t, t \in [0, 1]

x=b−bt,y=0+ct,t∈[0,1]

Điểm $M$ M trên $B C$ BC có tọa độ:

M = (b - b t, c t)

M=(b−bt,ct)

Đường thẳng $D M$ DM vuông góc với $B C$ BC tại $M$ M, nên vector $D M$ DM vuông góc với vector $B C$ BC.

Vector $D M = M - D = (b - b t - 0, c t - d) = (b (1 - t), c t - d)$ DM=M−D=(b−bt−0,ct−d)=(b(1−t),ct−d).

Điều kiện vuông góc:

D M \cdot B C = 0 ⟹ b (1 - t) (- b) + (c t - d) c = 0

DM⋅BC=0⟹b(1−t)(−b)+(ct−d)c=0

- b^{2} (1 - t) + c^{2} t - c d = 0

−b2(1−t)+c2t−cd=0

- b^{2} + b^{2} t + c^{2} t - c d = 0

−b2+b2t+c2t−cd=0

t (b^{2} + c^{2}) = b^{2} + c d

t(b2+c2)=b2+cd

t = \frac{b^{2} + c d}{b^{2} + c^{2}}

t=b2+c2b2+cd

Bước 6: Tìm tọa độ điểm

E

E

$E$ E là giao điểm của $D M$ DM và $A B$ AB.
$A B$ AB nằm trên trục $x$ x, nên $y = 0$ y=0.
Phương trình đường thẳng $D M$ DM:

Vector $D M = (b (1 - t), c t - d)$ DM=(b(1−t),ct−d), điểm $D = (0, d)$ D=(0,d).

Phương trình tham số của $D M$ DM:

x = 0 + s \cdot b (1 - t) = s b (1 - t)

x=0+s⋅b(1−t)=sb(1−t)

y = d + s (c t - d)

y=d+s(ct−d)

Giao với $A B : y = 0$ AB:y=0, nên:

0 = d + s (c t - d) ⟹ s = - \frac{d}{c t - d}

0=d+s(ct−d)⟹s=−ct−dd

Tọa độ $E$ E:

x_{E} = s b (1 - t) = - \frac{d}{c t - d} b (1 - t)

xE=sb(1−t)=−ct−ddb(1−t)

y_{E} = 0

yE=0

Bước 7: Tính các đoạn

C E

CE và

A M

AM

$C = (0, c)$ C=(0,c), $E = (x_{E}, 0)$ E=(xE,0), nên:

C E = \sqrt{(x_{E} - 0)^{2} + (0 - c)^{2}} = \sqrt{x_{E}^{2} + c^{2}}

CE=(xE−0)2+(0−c)2=xE2+c2

$A = (0, 0)$ A=(0,0), $M = (b - b t, c t)$ M=(b−bt,ct), nên:

A M = \sqrt{(b - b t - 0)^{2} + (c t - 0)^{2}} = \sqrt{b^{2} (1 - t)^{2} + c^{2} t^{2}}

AM=(b−bt−0)2+(ct−0)2=b2(1−t)2+c2t2

Bước 8: Dùng điều kiện

C E = 2 A M

CE=2AM

\sqrt{x_{E}^{2} + c^{2}} = 2 \sqrt{b^{2} (1 - t)^{2} + c^{2} t^{2}}

xE2+c2=2b2(1−t)2+c2t2

Thay $x_{E} = - \frac{d}{c t - d} b (1 - t)$ xE=−ct−ddb(1−t), ta có phương trình liên quan đến $b, c, d, t$ b,c,d,t.

Nhớ rằng $d = \frac{b}{b + \sqrt{b^{2} + c^{2}}} c$ d=b+b2+c2bc và $t = \frac{b^{2} + c d}{b^{2} + c^{2}}$ t=b2+c2b2+cd.

Bước 9: Giải phương trình để tìm tỉ số

\frac{b}{c}

cb

Để đơn giản, đặt:

k = \frac{b}{c} (0 < k < 1)

k=cb(0<k<1)

Mục tiêu là tìm $k$ k sao cho điều kiện $C E = 2 A M$ CE=2AM thỏa mãn.

$d = \frac{b}{b + \sqrt{b^{2} + c^{2}}} c = \frac{k c}{k + \sqrt{k^{2} + 1}} c = \frac{k}{k + \sqrt{k^{2} + 1}} c$ d=b+b2+c2bc=k+k2+1kcc=k+k2+1kc
$t = \frac{b^{2} + c d}{b^{2} + c^{2}} = \frac{k^{2} c^{2} + c d}{k^{2} c^{2} + c^{2}} = \frac{k^{2} c + d}{c (k^{2} + 1)}$ t=b2+c2b2+cd=k2c2+c2k2c2+cd=c(k2+1)k2c+d

Thay $d$ d vào: \