Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước từ xác định chiều cao hình chóp đến tính khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau bằng phương pháp tọa độ hóa hoặc hình học không gian thuần túy.

1. Xác định các thông số của hình chóp
Chiều cao $SH$:

Gọi $H$ là trung điểm của $AD$. Theo đề bài, $SH \perp (ABCD)$.
Xét tam giác vuông $ABH$ tại $A$: $BH^2 = AB^2 + AH^2 = a^2 + (a/2)^2 = 5a^2/4 \implies BH = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.
Góc giữa $SB$ và đáy là góc $\widehat{SBH} = 45^\circ$.
Tam giác $SHB$ vuông tại $H$ có $\widehat{SBH} = 45^\circ$ nên là tam giác vuông cân $\implies SH = BH = \frac{a\sqrt{5}}{2}$.
2. Tính khoảng cách giữa $BH$ và $SD$
Sử dụng phương pháp tọa độ để chính xác và nhanh chóng:

Chọn hệ trục tọa độ $Oxyz$ với $H(0,0,0)$, $A(0, -a/2, 0)$, $D(0, a/2, 0)$, $S(0, 0, \frac{a\sqrt{5}}{2})$.
Khi đó các điểm khác: $B(a, -a/2, 0)$.
Vectơ chỉ phương của $BH$: $\vec{u_{BH}} = \vec{HB} = (a, -a/2, 0)$, chọn $\vec{u_1} = (2, -1, 0)$.
Vectơ chỉ phương của $SD$: $\vec{u_{SD}} = \vec{DS} = (0, -a/2, \frac{a\sqrt{5}}{2})$, chọn $\vec{u_2} = (0, -1, \sqrt{5})$.
Tính vectơ pháp tuyến chung $\vec{n} = [\vec{u_1}, \vec{u_2}]$:

$\vec{n} = \left( \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ -1 & \sqrt{5} \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ \sqrt{5} & 0 \end{vmatrix}; \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} \right) = (-\sqrt{5}; -2\sqrt{5}; -2)$.
Tính khoảng cách $d(BH, SD)$:

Chọn điểm $H(0,0,0)$ trên $BH$ và $D(0, a/2, 0)$ trên $SD \implies \vec{HD} = (0, a/2, 0)$.
$d = \frac{|\vec{n} \cdot \vec{HD}|}{|\vec{n}|} = \frac{|(-\sqrt{5} \cdot 0) + (-2\sqrt{5} \cdot a/2) + (-2 \cdot 0)|}{\sqrt{(-\sqrt{5})^2 + (-2\sqrt{5})^2 + (-2)^2}}$
$d = \frac{|-a\sqrt{5}|}{\sqrt{5 + 20 + 4}} = \frac{a\sqrt{5}}{\sqrt{29}} = a\sqrt{\frac{5}{29}}$.
3. Tính giá trị biểu thức yêu cầu
Theo đề bài, khoảng cách có dạng $m \times a$, vậy:

$m = \sqrt{\frac{5}{29}}$
$m^2 = \frac{5}{29}$
Giá trị của biểu thức $\frac{3}{5}m^2$ là:

$\frac{3}{5} \times \frac{5}{29} = \frac{3}{29}$
Kết quả: Giá trị của $\frac{3}{5}m^2$ là $\frac{3}{29}$.