Tại x=100, ta có 101 = x+1. Thay vào biểu thức:

f(100) = x⁸ − (x + 1)x⁷ + (x + 1)x⁶ − (x + 1)x⁵ + ⋯ + (x + 1)x² − (x + 1)x + 25

f(100) = x⁸ − x⁸ − x⁷ + x⁷ + x⁶ − x⁶ − x⁵ + ⋯ + x³ + x² − x² − x + 25

f(100) = −x + 25

Thay x = 100 ta có: f(100) = −100 + 25 = −75.

c) Vì đa thức có nghiệm x = $\frac{1}{2}$ nên ta có:

${\left(\frac{1}{2}\right)}^2 a + 5.\frac{1}{2} - 3 = 0$

$\frac{1}{4}a = \frac{1}{2}$

a = 2

2)

Dưới đây là lời giải chi tiết cho các bài toán bạn đã đưa ra:

I. Đa thức
a) Tìm hệ số $a$ của đa thức $P(x) = ax^3 + 4x^2 - 1$ biết nghiệm là $2$:

Vì $x = 2$ là nghiệm của $P(x)$ nên $P(2) = 0$. Ta có:

$a(2)^3 + 4(2)^2 - 1 = 0$
$8a + 16 - 1 = 0$
$8a + 15 = 0 \implies a = -\frac{15}{8}$
b) Tính $f(100)$ với $f(x) = x^8 - 101x^7 + 101x^6 - 101x^5 + \dots + 101x^2 - 101x + 25$:

Tại $x = 100$, ta có $101 = x + 1$. Thay vào biểu thức:

$f(100) = x^8 - (x+1)x^7 + (x+1)x^6 - (x+1)x^5 + \dots + (x+1)x^2 - (x+1)x + 25$

$f(100) = x^8 - x^8 - x^7 + x^7 + x^6 - x^6 - x^5 + \dots + x^3 + x^2 - x^2 - x + 25$

Sau khi triệt tiêu các hạng tử đối nhau, ta còn lại:

$f(100) = -x + 25$

Thay $x = 100$ vào: $f(100) = -100 + 25 = -75$.

c) Tìm $a$ của $M(x) = ax^2 + 5x - 3$ biết nghiệm là $\frac{1}{2}$:

Vì $x = \frac{1}{2}$ là nghiệm nên $M(\frac{1}{2}) = 0$:

$a\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 5\left(\frac{1}{2}\right) - 3 = 0$
$\frac{1}{4}a + \frac{5}{2} - 3 = 0$
$\frac{1}{4}a - \frac{1}{2} = 0 \implies \frac{1}{4}a = \frac{1}{2} \implies a = 2$

II. Tìm giá trị của $B(x)$ tại $x = 2$
Biết: $3B(x) + B(-1) = 6x - 22$ (1)

Bước 1: Tìm giá trị $B(-1)$

Thay $x = -1$ vào phương trình (1):

$3B(-1) + B(-1) = 6(-1) - 22$

$4B(-1) = -28 \implies B(-1) = -7$

Bước 2: Tính $B(2)$

Thay $B(-1) = -7$ và $x = 2$ vào phương trình (1):

$3B(2) + (-7) = 6(2) - 22$

$3B(2) - 7 = 12 - 22$

$3B(2) - 7 = -10$

$3B(2) = -3 \implies B(2) = -1$

III. Xác suất và Thống kê (XSTK)
Gieo một con xúc xắc mặt cân đối (các mặt từ 1 đến 6 chấm).

a) Phân loại biến cố:

"Mặt xuất hiện có số chấm nhỏ hơn 7": Đây là biến cố chắc chắn (vì các mặt chỉ có từ 1 đến 6 chấm, tất cả đều nhỏ hơn 7).
"Mặt xuất hiện có số chấm lớn hơn 2": Đây là biến cố ngẫu nhiên (có thể xảy ra nếu rơi vào 3, 4, 5, 6 hoặc không xảy ra nếu rơi vào 1, 2).
"Mặt xuất hiện có số chấm chia hết cho 9": Đây là biến cố không thể (vì số chấm cao nhất là 6, không có số nào từ 1 đến 6 chia hết cho 9).
b) Tính xác suất biến cố A "Mặt xuất hiện là số nguyên tố":

Các kết quả có thể xảy ra: $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ (có 6 kết quả).
Các số nguyên tố trong tập hợp trên là: $\{2, 3, 5\}$ (có 3 kết quả thuận lợi).
Xác suất của biến cố A là: $P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5$ (hay 50%).

1)

a) Vì x = 2 là nghiệm của đa thức nên ta có:

a.23 + 4.22 - 1 = 0

8a + 16 - 1 = 0

8a = - 15

a = −158

b) 

Tại x=100, ta có 101 = x+1. Thay vào biểu thức:

f(100) = x8 − (x + 1)x7 + (x + 1)x6 − (x + 1)x5 + ⋯ + (x + 1)x2 − (x + 1)x + 25

f(100) = x8 − x8 − x7 + x7 + x6 − x6 − x5 + ⋯ + x3 + x2 − x2 − x + 25

f(100) = −x + 25

Thay x = 100 ta có: f(100) = −100 + 25 = −75.

c) Vì đa thức có nghiệm x = 12 nên ta có:

(12)2 a + 5.12 − 3 = 0

14a = 12

a = 2

2)
a) Phân loại biến cố:

"Mặt xuất hiện có số chấm nhỏ hơn 7": Đây là biến cố chắc chắn (vì các mặt chỉ có từ 1 đến 6 chấm, tất cả đều nhỏ hơn 7).
"Mặt xuất hiện có số chấm lớn hơn 2": Đây là biến cố ngẫu nhiên (có thể xảy ra nếu rơi vào 3, 4, 5, 6 hoặc không xảy ra nếu rơi vào 1, 2).
"Mặt xuất hiện có số chấm chia hết cho 9": Đây là biến cố không thể (vì số chấm cao nhất là 6, không có số nào từ 1 đến 6 chia hết cho 9).

b) Tính xác suất biến cố A "Mặt xuất hiện là số nguyên tố":

Các kết quả có thể xảy ra: S = {1,2,3,4,5,6} (có 6 kết quả).
Các số nguyên tố trong tập hợp trên là: {2,3,5} (có 3 kết quả thuận lợi).
Xác suất của biến cố A là: P(A) = 36 = 12