Ta có:

a³+b³=2

với a,b∈Z.

Cần tìm các giá trị nguyên của a+b.

Ta dùng hằng đẳng thức:

a³+b³=(a+b)(a²−ab+b²)

Suy ra:

(a+b)(a²−ab+b²)=2

Đặt:

S=a+b,P=a²−ab+b²

thì:

SP=2

Vì a,b∈Z nên S,P∈Z.

Ngoài ra:

a²−ab+b²= $\frac{{\left(a-b\right)}^2+a^2+b^2}{2}\ge 0$

và chỉ bằng 0 khi a=b=0, nhưng khi đó a³+b³=0≠2.

Vậy:

P>0

Do SP=2 nên các khả năng là:

(S,P)=(1,2)hoặc(2,1)

Xét từng trường hợp:

Trường hợp 1: a+b=1
Khi đó:

a²−ab+b²=2

Ta có:

(a+b)²=a²+2ab+b²=1

Mà:

a²−ab+b²=(a²+b²+2ab)−3ab=1−3ab

nên:

1−3ab=2

vô lý vì ab∈Z.

Vậy không có nghiệm.

Trường hợp 2: a+b=2
Khi đó:

a²−ab+b²=1

Lại có:

(a+b)²=4=a²+2ab+b²

nên:

a²−ab+b²=4−3ab

Suy ra:

4−3ab=1

Khi đó a,ba,ba,b là nghiệm của phương trình:

x²−2x+1=0

Suy ra:

a=b=1

thỏa mãn đề bài.

Vậy: a+b=2

Để tìm các giá trị nguyên của tổng \(a+b\) thỏa mãn \(a^3+b^3=2\), chúng ta phân tích phương trình dựa trên hằng đẳng thức và các tính chất của số nguyên như sau:
1. Phân tích phương trình
Áp dụng hằng đẳng thức tổng hai lập phương, ta có:
\(a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2) = 2\)
Vì \(a, b \in \mathbb{Z}\) nên \(a+b\) và \(a^2 - ab + b^2\) cũng là các số nguyên. Do đó, \((a+b)\) phải là ước nguyên của \(2\).
2. Các trường hợp có thể xảy ra
Các ước nguyên của \(2\) bao gồm: \(\pm 1\) và \(\pm 2\). Chúng ta xét các trường hợp của \(a+b\):
Trường hợp 1: \(a+b = 1\)
Ta có hệ phương trình:
\(\begin{cases}a+b=1\\ a^{2}-ab+b^{2}=2\end{cases}\)
Thay \(b = 1-a\) vào phương trình dưới:
\(a^2 - a(1-a) + (1-a)^2 = 2\)
\(\Leftrightarrow 3a^2 - 3a - 1 = 0\)
Phương trình này vô nghiệm trong tập số nguyên \(\mathbb{Z}\).
Trường hợp 2: \(a+b = 2\)
Ta có hệ phương trình:
\(\begin{cases}a+b=2\\ a^{2}-ab+b^{2}=1\end{cases}\)
Biến đổi phương trình dưới: \((a+b)^2 - 3ab = 1 \Rightarrow 4 - 3ab = 1 \Rightarrow ab = 1\).
Kết hợp \(a+b=2\) và \(ab=1\), ta giải được \(a=1\) và \(b=1\). (Thỏa mãn)
Vậy \(a+b = 1 + 1 = 2\).
Trường hợp 3: \(a+b = -1\)
Ta có hệ phương trình:
\(\begin{cases}a+b=-1\\ a^{2}-ab+b^{2}=-2\end{cases}\)
Ta lại có: \(a^2 - ab + b^2 = (a - \frac{b}{2})^2 + \frac{3b^2}{4} \geq 0\) với mọi \(a, b\).
Vì \(a^2 - ab + b^2 \geq 0\), nó không thể bằng \(-2\). Do đó trường hợp này vô nghiệm.
Trường hợp 4: \(a+b = -2\)
Ta có hệ phương trình:
\(\begin{cases}a+b=-2\\ a^{2}-ab+b^{2}=-1\end{cases}\)
Lý luận tương tự Trường hợp 3, vế trái luôn lớn hơn hoặc bằng \(0\) nên không thể bằng \(-1\). Trường hợp này cũng vô nghiệm.

Kết luận:
Giá trị nguyên duy nhất của \(a+b\) thỏa mãn bài toán là \(2\) (ứng với cặp số nguyên duy nhất \(a=1, b=1\)).