$AB=6\text{ cm}$AB=6 cm, $AC=8\text{ cm}$AC=8 cm, kẻ đường cao $AH$AH.

• Tam giác $ABC$ABC vuông tại $A$A.
• $AB=6\text{ cm}$AB=6 cm, $AC=8\text{ cm}$AC=8 cm.
• Đường cao $AH$AH hạ từ $A$A xuống $BC$BC.
• $E$E là giao điểm tia phân giác góc $ACB$ACB với $AH$AH.
• $D$D là giao điểm tia phân giác góc $ACB$ACB với $AB$AB.
• $K$K thuộc $BC$BC, $AK$AK là phân giác góc $A$A.
• $F$F thuộc $CD$CD.

• Tam giác $ABC$ABC vuông tại $A$A nên $\mathrm{\angle }BAC=90^{\circ }$∠BAC=90∘.

• $AH$AH là đường cao từ $A$A xuống $BC$BC, nên $H$H thuộc $BC$BC.

• Xét hai tam giác $ABC$ABC và $HBA$HBA:

  • $\mathrm{\angle }B$∠B chung cho cả hai tam giác.
  • $\mathrm{\angle }BAC=90^{\circ }$∠BAC=90∘ (tam giác $ABC$ABC) và $\mathrm{\angle }HBA=90^{\circ }$∠HBA=90∘ (vì $AH\perp BC$AH⊥BC, nên $AH\perp HB$AH⊥HB).

• Do đó, hai tam giác có hai góc bằng nhau nên đồng dạng theo tiêu chuẩn góc-góc (AA).

Kết luận: $\mathrm{△}ABC\sim \mathrm{△}HBA$△ABC∼△HBA.

• Gọi $I$I là giao điểm tia phân giác góc $ACB$ACB với $AB$AB (đã cho là $D$D) và với $AH$AH là $E$E.

• Ta cần tính tỉ số diện tích:

  $$\frac{S_{ACD}}{S_{HCE}}=?$$SHCE​SACD​​=?

• Vì $D$D thuộc $AB$AB, $E$E thuộc $AH$AH, và $CD$CD là tia phân giác góc $ACB$ACB.

• Xét tam giác $ACD$ACD và tam giác $HCE$HCE:

  • Hai tam giác này có góc $C$C chung.
  • $CD$CD là tia phân giác góc $ACB$ACB, nên $\mathrm{\angle }ACD=\mathrm{\angle }HCE$∠ACD=∠HCE.

• Do đó, hai tam giác $ACD$ACD và $HCE$HCE đồng dạng theo góc-góc (AA).

• Tỉ số diện tích của hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số tỉ lệ tương ứng của hai cạnh tương ứng.

• Cạnh tương ứng là $AC$AC và $HC$HC hoặc $AD$AD và $HE$HE.

• Ta cần tìm tỉ số các cạnh tương ứng.

• Tam giác $ABC$ABC vuông tại $A$A, $AB=6$AB=6, $AC=8$AC=8.

• Tính $BC$BC theo định lý Pythagoras:

  $$BC=\sqrt{A{B}^2+A{C}^2}=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10$$BC=AB2+AC2​=62+82​=36+64​=100​=10

• Đường cao $AH$AH từ $A$A xuống $BC$BC có độ dài:

  $$AH=\frac{AB\times AC}{BC}=\frac{6\times 8}{10}=\frac{48}{10}=4.8$$AH=BCAB×AC​=106×8​=1048​=4.8

• Tính $BH$BH và $HC$HC:

  $$BH=\frac{A{B}^2}{BC}=\frac{6^2}{10}=\frac{36}{10}=3.6$$BH=BCAB2​=1062​=1036​=3.6
  $$HC=\frac{A{C}^2}{BC}=\frac{8^2}{10}=\frac{64}{10}=6.4$$HC=BCAC2​=1082​=1064​=6.4

• Tia phân giác góc $C$C chia cạnh $AB$AB thành tỉ số bằng tỉ số hai cạnh kề góc $C$C:

  $$\frac{AD}{DB}=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$$DBAD​=BCAC​=68​=34​

• Vì $AB=6$AB=6, ta có:

  $$AD=\frac{4}{4+3}\times 6=\frac{4}{7}\times 6=\frac{24}{7}\approx 3.43$$AD=4+34​×6=74​×6=724​≈3.43
  $$DB=6-AD=6-\frac{24}{7}=\frac{42-24}{7}=\frac{18}{7}\approx 2.57$$DB=6−AD=6−724​=742−24​=718​≈2.57

• Tia phân giác góc $C$C cũng cắt $AH$AH tại $E$E, ta dùng tỉ số tương tự để tính $AE$AE và $EH$EH:

  • Vì $AH$AH vuông góc với $BC$BC, và $E$E nằm trên $AH$AH, ta có thể dùng tỉ số đoạn thẳng:
  $$\frac{AE}{EH}=\frac{AC}{BC}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$$EHAE​=BCAC​=68​=34​

• Tổng $AH=4.8$AH=4.8, nên:

  $$AE=\frac{4}{4+3}\times 4.8=\frac{4}{7}\times 4.8=\frac{19.2}{7}\approx 2.74$$AE=4+34​×4.8=74​×4.8=719.2​≈2.74
  $$EH=4.8-2.74=2.06$$EH=4.8−2.74=2.06

• Tỉ số các cạnh tương ứng $AD$AD và $AE$AE:

  $$\frac{AD}{AE}=\frac{24\mathrm{/}7}{19.2\mathrm{/}7}=\frac{24}{19.2}=1.25$$AEAD​=19.2/724/7​=19.224​=1.25

• Do tam giác đồng dạng, tỉ số diện tích bằng bình phương tỉ số cạnh tương ứng:

  $$\frac{S_{ACD}}{S_{HCE}}={\left(\frac{AD}{AE}\right)}^2=(1.25{)}^2=1.5625$$SHCE​SACD​​=(AEAD​)2=(1.25)2=1.5625

• $DK\parallel AH$DK∥AH
• $\mathrm{△}AEF\sim \mathrm{△}CEH$△AEF∼△CEH

• $AK$AK là phân giác góc $A$A, $K\in BC$K∈BC.
• $F$F thuộc $CD$CD.
• Ta cần chứng minh $DK\parallel AH$DK∥AH và hai tam giác đồng dạng.

• Vì $AK$AK là phân giác góc $A$A, theo định lý phân giác trong tam giác:

  $$\frac{BK}{KC}=\frac{AB}{AC}=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$$KCBK​=ACAB​=86​=43​

• $D$D thuộc $AB$AB, $K$K thuộc $BC$BC, $F$F thuộc $CD$CD.

• Xét tứ giác $ADKF$ADKF, ta sẽ chứng minh $DK\parallel AH$DK∥AH bằng cách chứng minh hai đoạn thẳng này có cùng hướng hoặc tỉ số tương ứng.

• Do $AH\perp BC$AH⊥BC, nên $AH$AH vuông góc với $BC$BC.

• Nếu $DK\parallel AH$DK∥AH, thì $DK\perp BC$DK⊥BC.

• Ta chứng minh $DK\perp BC$DK⊥BC bằng cách chứng minh $DK$DK vuông góc với $BC$BC.

• Vì $D\in AB$D∈AB, $K\in BC$K∈BC, và $F\in CD$F∈CD, ta có thể dùng tính chất hình học hoặc tọa độ để chứng minh.

• Xét hai tam giác $AEF$AEF và $CEH$CEH:

  • $\mathrm{\angle }E$∠E chung.
  • $AK$AK là phân giác góc $A$A, nên $\mathrm{\angle }BAF=\mathrm{\angle }CAF$∠BAF=∠CAF.
  • ( AH \perp BC