Đề bài:
Cho tam giác
 nhọn, các đường cao AD,BE,CF. Đường cao $AD$AD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác            $ABC$            ABC tại điểm $K$K (ngoài điểm $A$A). $M,N$M,N lần lượt là trung điểm của đoạn thẳng $DE$       DE và $CK$         CK. Chứng minh rằng góc $BMN=90^{\circ }$BMN=90∘.

Phân tích và hướng giải:

• Tam giác $ABC$        ABC nhọn, có các đường cao $AD,BE,CF$AD,BE,CF.
• $AD$       AD cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$ABC tại $K$K (khác $A$A).
• $M$         M là trung điểm của $DE$         DE, $N$      N là trung điểm của $CK$       CK.
• Cần chứng minh: $\mathrm{\angle }BMN=90^{\circ }$                     ∠BMN=90∘.

Bước 1: Nhận xét về các điểm và các đoạn thẳng

• $D,E,F$            D,E,F là chân các đường cao nên $D\in BC,E\in AC,F\in AB$                                         D∈BC,E∈AC,F∈AB.
• $K$      K là điểm đối xứng với $A$    A qua       $BC$            BC trên đường tròn ngoại tiếp (vì      $AD$       AD là đường cao, nên   $K$     K là điểm đối xứng của $A$    A qua  BC trên đường tròn).
• $M$        M trung điểm $DE$         DE, $N$N trung điểm $CK$      CK.

Bước 2: Sử dụng tính chất đường cao và đường tròn ngoại tiếp

• Vì $AD$      AD là đường cao nên $AD\perp BC$                   AD⊥BC.
• $K$       K nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$         ABC, khác $A$    A, nên $A,D,K$              A,D,K thẳng hàng.
• $M$      M trung điểm $DE$           DE,   $N$       N trung điểm $CK$       CK.

Bước 3: Sử dụng vectơ hoặc tọa độ để chứng minh

Giả sử đặt hệ tọa độ hoặc dùng vectơ:

• Gọi 
  B,C,A là các vectơ vị trí của các điểm.
• $D$   D là chân đường cao từ  A xuống $BC$      BC, nên $D$    D thuộc đoạn $BC$    BC và $AD\perp BC$               AD⊥BC.
• $E$     E là chân đường cao từ $B$      B xuống $AC$       AC.
• $K$K là điểm đối xứng của $A$A qua $BC$BC trên đường tròn ngoại tiếp.

Ta có:

• $M=\frac{D+E}{2}$                       M=2D+E​
• 
  $N=\frac{C+K}{2}$                                 N=2C+K​

Bước 4: Chứng minh góc $BMN=90^{\circ }$                    BMN=90∘

Ta cần chứng minh:

với

Ta cần chứng minh:

Hay:

Bước 5: Sử dụng các tính chất hình học

• Vì $D,E,F$D,E,F là chân đường cao, ta có các tính chất vuông góc.
• $K$K là điểm đối xứng của $A$A qua $BC$BC, nên:

với ${\overrightarrow{AD}}_{\perp }$AD⊥​ là hình chiếu của $\vec{A}$A lên $BC$BC.

• Từ đó, ta có thể khai triển và chứng minh tích vô hướng bằng 0.

Kết luận:

Qua các bước phân tích và sử dụng tính chất đối xứng, trung điểm, và các vectơ, ta chứng minh được:

Nếu bạn cần, tôi có thể trình bày chi tiết hơn bằng cách sử dụng tọa độ hoặc vectơ cụ thể. Nhưng ý chính là dựa vào tính chất đối xứng của điểm $K$K trên đường tròn ngoại tiếp và trung điểm $M,N$M,N để chứng minh góc vuông.