a. Chứng minh MN là đường trung bình của $∆$ABC
- Trong $∆$ABC, ta có:
M là trung điểm của cạnh AB (giả thiết).
N là trung điểm của cạnh AC (giả thiết).
- Theo định nghĩa về đường trung bình của tam giác: Đường thẳng nối trung điểm hai cạnh của một tam giác thì được gọi là đường trung bình của tam giác đó.
=> MN là đường trung bình của $∆$ABC (đpcm).
b. Tính độ dài BD và DC
- Xét $∆$ABC có AD là đường phân giác của góc A (D $\in$ BC).
=> Theo tính chất đường phân giác trong tam giác, ta có tỉ lệ: $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$
=> Thay số đo các cạnh vào: $\frac{BD}{DC}=\frac{4}{5}$
=> $\frac{BD}{4}=\frac{DC}{5}$
=> Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{BD}{4}=\frac{DC}{5}=\frac{BD+DC}{4+5}$
Mà BD + DC = BC = 7 cm, nên: $\frac{BD}{4}=\frac{DC}{5}=\frac{7}{9}$
- Từ đó ta tính được:
$BD=4\times \frac{7}{9}=\frac{28}{9}\approx 3,11$(cm)
$DC=5\times \frac{7}{9}=\frac{35}{9}\approx 3,89$ (cm)

1. Theo giả thiết, M là trung điểm của AB nên $AM=\frac{1}{2}AB$AM=21​AB; N là trung điểm của AC nên $AN=\frac{1}{2}AC$AN=21​AC.
2. Xét hai tam giác $\mathrm{△}AMN$△AMN và $\mathrm{△}ABC$△ABC:
   • Tỷ số hai cạnh kề góc chung: $\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}=\frac{1}{2}$ABAM​=ACAN​=21​
   • $\widehat{MAN}=\widehat{BAC}$MAN=BAC (là góc chung của hai tam giác)
3. Theo tiêu chuẩn đồng dạng tam giác "cạnh tỉ số và góc chung", ta có $\mathrm{△}AMN\sim \mathrm{△}ABC$△AMN∼△ABC với tỷ số đồng dạng là $\frac{1}{2}$21​.
4. Từ tính chất của tam giác đồng dạng:
   • Độ dài cạnh tương ứng: $MN=\frac{1}{2}BC$MN=21​BC
   • Góc tương ứng bằng nhau: $\widehat{AMN}=\widehat{ABC}$AMN=ABC ⇒ $MN\parallel BC$MN∥BC (vì hai góc đồng vị bằng nhau)
5. Vì đoạn thẳng MN nối trung điểm của hai cạnh AB, AC, song song với cạnh BC và có độ dài bằng nửa BC nên MN là đường trung bình của tam giác ABC theo định nghĩa chuẩn.

1. Áp dụng định lý phân giác tam giác: Phân giác góc BAC chia cạnh BC tại điểm D nên tỷ số giữa hai đoạn BD và DC bằng tỷ số giữa hai cạnh kề với góc BAC, tức là:$$\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{4}{5}$$DCBD​=ACAB​=54​
2. Gọi $BD=4k$BD=4k với $k>0$k>0, suy ra $DC=5k$DC=5k.
3. Ta có tổng độ dài BD và DC bằng độ dài BC:$$BD+DC=BC=7$$BD+DC=BC=7Thay số ta được:$$4k+5k=7⟺9k=7⟺k=\frac{7}{9}$$4k+5k=7⟺9k=7⟺k=97​
4. Tính độ dài từng đoạn:
   • $BD=4\times \frac{7}{9}=\frac{28}{9}\approx 3,11$BD=4×97​=928​≈3,11 cm
   • $DC=5\times \frac{7}{9}=\frac{35}{9}\approx 3,89$DC=5×97​=935​≈3,89 cm
   • đúng ko bn? nếu lỗi hãy vào link dưới đây