a) Chứng minh $\mathrm{△}ABH=\mathrm{△}ACH$
- Xét $\mathrm{△}ABC$ cân tại A, có AD là đường phân giác của góc A.
- Trong tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến và đường cao.
=> D là trung điểm của BC và AD $\perp$ BC.
- Xét $∆$ABH và $∆$ACH, ta có:
AB = AC (giả thiết $∆$ABC cân tại A)
$\widehat{BAH}=\widehat{CAH}$ (do AD là tia phân giác của góc A)
Cạnh AH chung
=> $\mathrm{△}ABH=\mathrm{△}$ ACH (c-g-c).

b) Chứng minh EH = EF
- Vì BE là đường trung tuyến của $∆$ ABC => E là trung điểm của AC.
Theo giả thiết, CF // AD. Mà H $\in$ AD nên CF // AH.
- Xét $\mathrm{△}AEH$ và $\mathrm{△}CEF$, ta có:
$\widehat{HAE}=\widehat{FCE}$ (hai góc so le trong do AH // CF)
AE = CE (do E là trung điểm của AC)
$\widehat{AEH}=\widehat{CEF}$ (hai góc đối đỉnh)
Do đó, $\mathrm{△}AEH=\mathrm{△}CEF$ (g-c-g).
=> EH = EF (hai cạnh tương ứng).

c) Chứng minh HG = $\frac{2}{3}$HE
- Trong $∆$ABC, hai đường trung tuyến AD và BE cắt nhau tại H.
=> H là trọng tâm của $∆$ABC.
Theo tính chất trọng tâm: BH = 2HE.
Lại có $∆$ABH = $∆$ACH (chứng minh ở câu a) 
=> BH = CH.
Từ hai điều trên suy ra: CH = 2HE (1).

- Từ câu b, ta có EH = EF => E là trung điểm của HF.
+ Mà E nằm giữa H và F, suy ra đoạn HF = 2HE.
Ta đã có BH = 2HE, do đó BH = HF.
Vì H, E, F nằm trên cùng một đường thẳng, suy ra H chính là trung điểm của đoạn BF.

- Xét $∆$BCF, ta có:
+ FD là đường trung tuyến (do D là trung điểm của BC).
+ CH là đường trung tuyến (do H là trung điểm của BF).
+ Mà G là giao điểm của FD và CH.
=> G là trọng tâm của $∆$BCF.
- Theo tính chất trọng tâm, điểm G chia đường trung tuyến CH theo tỉ lệ (tính từ trung điểm H):
HG = $\frac{1}{3}CH$ (2)
- Thay (1) vào (2), ta được: $HG=\frac{1}{3}\cdot (2HE)=\frac{2}{3}HE$
Vậy: $HG=\frac{2}{3}HE$ (điều phải chứng minh).

a)

Xét $△$ABH và $△$ACH có:

AH chung

AB = AC (vì $△$ABC cân tại A)

$\widehat{BAH} = \widehat{CAH}$ (vì AD là đường phân giác góc A)

Nên △ABH = △ACH (c.g.c)

b)

Xét $△$AEH và $△$CEF có:

$\widehat{AEH} = \widehat{CEF}$ (đối đỉnh)

AE = CE ( vì BE là đường trung tuyến)

$\widehat{HAE} = \widehat{FCE}$ (2 góc so le trong do AH // CF)

Nên △AEH = △CEF (g.c.g)

=> EH =  EF

c)

Xét $△$ABD và $△$ACD có:

AB = AC

AD chung

$\widehat{BAD} = \widehat{CAD}$

Nên △ABD = △ACD (c.gc)

=> BD = CD

$△$ABC có AD, BE là các đường trung tuyến cắt nhai tại H

=> H là trực tâm của tam giác ABC

=> HE = $\frac{1}{2}$BH

=> 2HE = BH

=> HF = BH

$△$BCF có FD, CH là các đường trung tuyến cắt nhau tại G

=> G là trọng tâm của tam giác BCF

=> HG = $\frac{1}{3}$HC

=> HG = $\frac{1}{3}$HB (vì HC = HB)

=> HG = $\frac{1}{3}$.2HE (vì HE = $\frac{1}{2}$HB)

Vậy HG = $\frac{2}{3}$HE