c) AD < DC (Chúng ta xét câu c trước vì nó liên quan trực tiếp đến câu b)

Mệnh đề này ĐÚNG.

Từ chứng minh ở trên, ta có AD = ED.
Xét tam giác ΔDEC vuông tại E (do DE ⊥ BC).
Trong một tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất. Cạnh đối diện với góc vuông ∠DEC là cạnh huyền DC.
Do đó, DC > ED.
Vì AD = ED, ta thay vào và được DC > AD, hay AD < DC.

b) ED > DC

Mệnh đề này SAI.

Như đã chứng minh ở câu c, trong tam giác vuông DEC, cạnh huyền DC là cạnh lớn nhất.
Do đó, ED < DC. Mệnh đề ED > DC là sai.

d) D là trực tâm của ΔBEC

Mệnh đề này SAI.

D là một đỉnh của tam giác ΔDEC (và ΔBEC có chung đỉnh E, C), nên D không thể là trực tâm của chính tam giác chứa nó.
Lưu ý: Rất có thể đề bài đúng là: "D là trực tâm của ΔBFC". Nếu đề bài như vậy thì mệnh đề này ĐÚNG. Dưới đây là cách chứng minh:

Xét ΔBFC:Ta có DE ⊥ BC (giả thiết). Vì F, D, E thẳng hàng nên FE ⊥ BC. Suy ra FE là một đường cao của ΔBFC (xuất phát từ đỉnh F).
Ta có ΔABC vuông tại A (giả thiết), suy ra AC ⊥ AB. Vì F nằm trên đường thẳng AB nên AC ⊥ FB. Suy ra AC là một đường cao của ΔBFC (xuất phát từ đỉnh C).
Trong ΔBFC, hai đường cao FE và AC cắt nhau tại D.
Giao điểm của hai đường cao trong một tam giác chính là trực tâm của tam giác đó.
Vậy, D là trực tâm của ΔBFC.
Tổng kết:
Dựa trên đề bài bạn cung cấp:

a) ΔABC = ΔEDB: Sai
b) ED > DC: Sai
c) AD < DC: Đúng
d) D là trực tâm của ΔBEC: Sai
Nếu có sự nhầm lẫn trong đề bài và các mệnh đề đúng là "ΔBAD = ΔBED" và "D là trực tâm của ΔBFC" thì cả hai mệnh đề đó đều đúng.

c) AD < DC (Chúng ta xét câu c trước vì nó liên quan trực tiếp đến câu b)

Mệnh đề này ĐÚNG.

Từ chứng minh ở trên, ta có AD = ED.
Xét tam giác ΔDEC vuông tại E (do DE ⊥ BC).
Trong một tam giác vuông, cạnh huyền là cạnh lớn nhất. Cạnh đối diện với góc vuông ∠DEC là cạnh huyền DC.
Do đó, DC > ED.
Vì AD = ED, ta thay vào và được DC > AD, hay AD < DC.

b) ED > DC

Mệnh đề này SAI.

Như đã chứng minh ở câu c, trong tam giác vuông DEC, cạnh huyền DC là cạnh lớn nhất.
Do đó, ED < DC. Mệnh đề ED > DC là sai.

d) D là trực tâm của ΔBEC

Mệnh đề này SAI.

D là một đỉnh của tam giác ΔDEC (và ΔBEC có chung đỉnh E, C), nên D không thể là trực tâm của chính tam giác chứa nó.
Lưu ý: Rất có thể đề bài đúng là: "D là trực tâm của ΔBFC". Nếu đề bài như vậy thì mệnh đề này ĐÚNG. Dưới đây là cách chứng minh:

Xét ΔBFC:Ta có DE ⊥ BC (giả thiết). Vì F, D, E thẳng hàng nên FE ⊥ BC. Suy ra FE là một đường cao của ΔBFC (xuất phát từ đỉnh F).
Ta có ΔABC vuông tại A (giả thiết), suy ra AC ⊥ AB. Vì F nằm trên đường thẳng AB nên AC ⊥ FB. Suy ra AC là một đường cao của ΔBFC (xuất phát từ đỉnh C).
Trong ΔBFC, hai đường cao FE và AC cắt nhau tại D.
Giao điểm của hai đường cao trong một tam giác chính là trực tâm của tam giác đó.
Vậy, D là trực tâm của ΔBFC.
Tổng kết:
Dựa trên đề bài bạn cung cấp:

a) ΔABC = ΔEDB: Sai
b) ED > DC: Sai
c) AD < DC: Đúng
d) D là trực tâm của ΔBEC: Sai
Nếu có sự nhầm lẫn trong đề bài và các mệnh đề đúng là "ΔBAD = ΔBED" và "D là trực tâm của ΔBFC" thì cả hai mệnh đề đó đều đúng.