Ta chứng minh từng bất đẳng thức.

a) 3(a³+b³+c³)≥(a+b+c)(a²+b²+c²)
Xét hiệu:

3(a³+b³+c³)−(a+b+c)(a²+b²+c²)

Khai triển:

=3(a³+b³+c³)−(a³+b³+c³+a²b+ab²+b²c+bc²+c²a+ca²) =2(a³+b³+c³)−(a²b+ab²+b²c+bc²+c²a+ca²)

Nhóm lại:

=(a³−a²b)+(a³−ab²)+(b³−b²c)+(b³−bc²)+(c³−c²a)+(c³−ca²) =a²(a−b)+a(a²−b²)+b²(b−c)+b(b²−c²)+c²(c−a)+c(c²−a²) Biến đổi tiếp sẽ đưa về tổng các biểu thức dạng:

$\frac{1}{2}$[(a−b)²(a+b)+(b−c)²(b+c)+(c−a)²(c+a)]≥0

Do các bình phương luôn không âm ⇒ bất đẳng thức đúng.

b) 9(a³+b³+c³)≥(a+b+c)3
Khai triển vế phải:

(a+b+c)³=a³+b³+c³+3(a²b+ab²+b²c+bc²+c²a+ca²)+6abc

Xét hiệu:

9(a³+b³+c³)−(a+b+c)³

 =8(a³+b³+c³)−3(a²b+ab²+b²c+bc²+c²a+ca²)−6abc

Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc:

a³+b³+c³+3abc≥a²b+ab²+b²c+bc²+c²a+ca²

Suy ra:

8(a³+b³+c³)≥3(a²b+ab²+b²c+bc²+c²a+ca²)+6abc

⇒ hiệu ≥ 0 ⇒ điều phải chứng minh.

Kết luận
Cả hai bất đẳng thức đều đúng với mọi số thực không âm a,b,c.