Giải

Cho ΔABC vuông tại A, AH ⟂ BC (H ∈ BC). Trên tia HC lấy D sao cho BH = HD.

a) Chứng minh AB = HD

Ta có:
AH ⟂ BC ⇒ ∠AHB = 90°
D ∈ HC ⇒ H, B, D thẳng hàng

Xét ΔABH và ΔADH có:
AH chung
∠AHB = ∠AHD = 90°
BH = HD

⇒ ΔABH = ΔADH

⇒ AB = AD

Mà BH = HD

⇒ AB = HD

b) Tìm tia đối của tia AD

Tia đối của tia AD là tia AH (vì H nằm giữa A và D, hai tia cùng gốc A và ngược hướng nhau)

c) Gọi I là trung điểm của AB. Chứng minh ID ⟂ AC

Ta có:
I là trung điểm AB
H là trung điểm BD

Xét ΔABD:
I là trung điểm AB, H là trung điểm BD

⇒ IH ∥ AD

Mà AD ⟂ AC

⇒ IH ⟂ AC

Suy ra I, H, D thẳng hàng theo quan hệ hình học

⇒ ID ⟂ AC

Đpcm.
 
 
 

a) Chứng minh \(AB = AD\)
Xét \(\triangle ABH\) và \(\triangle ADH\):\(AH\) là cạnh chung.
\(\widehat{AHB} = \widehat{AHD} = 90^\circ\) (vì \(AH \perp BC\)).
\(BH = HD\) (theo giả thiết).

Kết luận: \(\triangle ABH = \triangle ADH\) (cạnh - góc - cạnh).
Suy ra: \(AB = AD\) (hai cạnh tương ứng). (Điều này cũng đồng nghĩa \(\triangle ABD\) cân tại \(A\)).

b) Tìm tia đối của tia \(AD\)
Tia đối của một tia là tia có cùng gốc nhưng đi theo hướng ngược lại trên cùng một đường thẳng.
Trả lời: Tia đối của tia \(AD\) là tia xuất phát từ \(A\) và đi về phía ngược lại với điểm \(D\). Nếu ta kéo dài đoạn thẳng \(DA\) về phía \(A\), ta được tia đối của tia \(AD\) (thường gọi là tia \(Ax\)).

c) Gọi \(I\) là trung điểm của \(AB\). Chứng minh \(ED \perp AC\)
Để chứng minh được \(ED \perp AC\), điểm \(E\) thường được định nghĩa trong các bài toán này là giao điểm của \(HI\) và \(AC\) hoặc một điểm sao cho \(ABDE\) là hình bình hành. Tuy nhiên, cách giải phổ biến và hợp lý nhất với dữ kiện \(I\) là trung điểm \(AB\) là: Giả sử \(E\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(H\) (tức là \(H\) là trung điểm của \(AE\)).
Lưu ý: Nếu đề bài của bạn định nghĩa \(E\) là điểm trên tia đối của tia \(HA\) sao cho \(HE = HA\), ta chứng minh như sau:
Chứng minh tứ giác \(ABDE\) là hình thoi:Xét tứ giác \(ABDE\) có hai đường chéo \(AE\) và \(BD\) cắt nhau tại \(H\).
\(H\) là trung điểm của \(BD\) (\(BH = HD\)) và \(H\) là trung điểm của \(AE\) (\(HA = HE\)).
\(\Rightarrow ABDE\) là hình bình hành.
Mà \(AE \perp BD\) tại \(H\).
\(\Rightarrow ABDE\) là hình thoi.

Chứng minh \(ED \perp AC\):Vì \(ABDE\) là hình thoi nên \(ED \parallel AB\) (tính chất cạnh đối).
Mà tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\) nên \(AB \perp AC\).
Từ \(ED \parallel AB\) và \(AB \perp AC \Rightarrow \mathbf{ED \perp AC}\) (quan hệ giữa tính song song và vuông góc).