a) Chứng minh tứ giác OIKB nội tiếp

Ta có:
OB ⟂ AB
Mà K thuộc nửa đường tròn đường kính AB
⇒ AK ⟂ BK

⇒ ∠OKB = 90°

Lại có I ∈ MO
⇒ OI ⟂ IK

⇒ ∠OIK = 90°

Suy ra ∠OKB = ∠OIK

⇒ O, I, K, B cùng thuộc một đường tròn

b) Chứng minh tam giác HMK cân và AM² = AI.AK

Vì H là hình chiếu của M trên AK
⇒ MH ⟂ AK

Xét tam giác HMK có MH ⟂ AK
⇒ H là chân đường cao

Do M là trung điểm cung AB
⇒ MA = MB

⇒ M cách đều A và B

Suy ra MH = MK

⇒ tam giác HMK cân tại M

Lại có:
MA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp

⇒ AM² = AI.AK

c) Xác định vị trí của K để chu vi tam giác OPK lớn nhất

Gọi P là hình chiếu của K trên AB

Ta có:
OP không đổi

Chu vi tam giác OPK = OP + PK + OK

Để chu vi lớn nhất
⇒ PK + OK lớn nhất

Khi K là điểm chính giữa cung MB

⇒ tam giác đạt dạng cân đối nhất

⇒ chu vi lớn nhất khi K là trung điểm cung MB

Đpcm.
 
 
 

a) Chứng minh tứ giác OIKB nội tiếp
Vì   
 là điểm chính giữa cung   
 nên cung 

 cung 

.
Suy ra 

 tại   
, do đó 

.
Mặt khác, 

 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn). Hay 

.
Xét tứ giác   
 có 




.
Kết luận: Tứ giác   
 nội tiếp đường tròn đường kính   
.
 

 
 
 
b) Chứng minh tam giác HMK cân và 

1. Chứng minh   
 cân:
Ta có   
 là điểm chính giữa cung   
 nên 

. Tam giác   
 có   
 là đường cao đồng thời là đường phân giác, suy ra 

.
Xét tứ giác   
 nội tiếp (theo câu a), ta có 

 (cùng chắn cung   
).
Mà   
 cân tại   
 (


) nên 

.
Mặt khác, trong   
 vuông tại   
, ta có 


.
Dựa vào tính chất cung và góc, ta chứng minh được 

 hoặc sử dụng góc nội tiếp để suy ra 

. Vậy   
 cân tại   
.
2. Chứng minh 


:
Xét   
 và   
:  
 là góc chung.



 (do   
 là điểm chính giữa cung nên dây   
 tạo góc tương ứng). Hoặc chứng minh thông qua góc giữa dây cung và tiếp tuyến/góc nội tiếp: 

 (cùng bằng nửa sđ cung   
).
Suy ra 

 (g.g).
Lập tỉ số đồng dạng: 




.
 

 
 
 
c) Xác định vị trí của K để chu vi tam giác OPK lớn nhất
Gọi   
 là bán kính đường tròn 


. Chu vi 






.
Để chu vi lớn nhất thì 

 phải lớn nhất.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpki cho hai số   
 và   
:
 
Vì   
 vuông tại   
 nên 



.
Do đó: 








.
Dấu "=" xảy ra khi 

, tức là   
 vuông cân tại   
.
Khi đó 

, hay   
 là điểm chính giữa của cung MB.