Để giải bài toán này, ta cần áp dụng các công thức trong hình học và một số kiến thức về tam giác. Chúng ta sẽ tính bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC từ các thông tin đã cho.

Các thông tin đã cho:
∠B=45^∘
∠C=105^∘
Phân giác trong của góc A cắt cạnh BC tại điểm D với độ dài AD=4
Bước 1: Tính góc còn lại của tam giác
Vì tổng ba góc trong một tam giác luôn bằng 180^∘, ta có thể tính góc A:

∠A=180^∘−∠B−∠C=180^∘−45^∘−105^∘=30^∘

Bước 2: Áp dụng công thức cho bán kính đường tròn ngoại tiếp
Có một công thức liên quan đến bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác khi biết phân giác trong của góc A và độ dài phân giác AD. Công thức này là:

R=$\frac{AD}{\sin \left({\displaystyle \frac{A}{2}}\right)}$

Trong đó:

R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.
AD=4 là độ dài phân giác trong.
A=30^∘ là góc A của tam giác.
Bước 3: Tính giá trị của R
Ta có $\frac{A}{2}=\frac{{30}^0}{2}={15}^0$
Tính sin⁡(15^∘). Theo bảng sin, ta có:
sin⁡(15^∘)≈0.2588.

Vậy bán kính R là:

R= $\frac{AD}{\sin \left({15}^0\right)}=\frac{4}{0.2588}\approx 15.43$

Kết quả:
Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là khoảng 15.43.