Bài 1: Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC). Gọi M là trung điểm của AC. Trên tia đối của tia MB lấy điểm D sao cho MD = MB. a) Chứng minh AB = CD và CD ⊥ AC. b) Chứng minh AB + BC > 2BM. c) Chứng minh ABM > CBM   

Bài 2: Cho ∆ABC có A =80 ; B 60  0 0  = 

a) So sánh các cạnh của ∆ABC. b) Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho BD = BA. Tia phân giác của ABC cắt AC tại E. 

Chứng minh: ∆ABE = ∆DBE. 

c) Chứng minh: BE > AD. d) Gọi H là giao điểm của BE và AD. Chứng minh: H là trung điểm của AD. 

Bài 3: Cho ∆ABC cân tại A có hai trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Chứng minh: 

a) BM = CN và ∆GBC là tam giác cân; 

b) MN // BC. 

c) Kẻ AP ⊥ BC tại P. Chứng minh ba điểm A, G, P thẳng hàng. 

Bài 4: Cho ∆ABC vuông tại B. AD là tia phân giác của BAC (D ∈ BC). Kẻ DI ⊥ AC (I ∈ AC). 

a) Chứng minh: ∆ABD = ∆AID. 

b) So sánh DB và DC. 

c) Từ C kẻ đường thẳng vuông góc với AD, cắt AD tại K. Hai đường thẳng CK và AB cắt nhau tại E. Chứng minh K là trung điểm của CE và ∆AEC cân. 

d) Chứng minh BI // EC. 

e) Chứng minh ba điểm E, D, I thẳng hàng. 

Bài 5: Cho ∆ABC vuông tại C có A = 60  0 . Trên cạnh AB lấy điểm K sao cho 

AK = AC. Từ K kẻ đường thẳng vuông góc với AB, cắt BC tại E. 

a) Chứng minh: AE là tia phân giác của CAB và EC < EB. 

b) Chứng minh: K là trung điểm của AB và AB = 2AC. 

c) Chứng minh: EB > AC. 

d) Kẻ BD ⊥ AE tại D. Gọi G là giao điểm của AC và BD. Chứng minh ∆AGB đều. 

e) Chứng minh ba đường thẳng AC, BD, KE cùng đi qua một điểm. 

Bài 6: Cho ∆MNP vuông tại M có MN = 6cm, MP = 4,5cm. 

a) So sánh các góc của ∆MNP. 

b) Trên tia đối của tia PM lấy điểm A sao cho P là trung điểm của đoạn thẳng AM. Qua P dựng đường thẳng vuông góc với AM và cắt AN tại C. Chứng minh: ∆CPM = ∆CPA. 

c) Chứng minh: CM = CN. 

Bài 7: Cho tam giác ABC cân tại A có K là trung điểm của đoạn BC. Hai đường phân giác BD và CE cắt nhau tại I. Chứng minh: 

a) I cách đều ba cạnh của tam giác ABC; 

b) KI là tia phân giác của góc EKD. 

Dạng 5: Một số bài toán thực tế hình học 

Bài 1: Bốn nhà máy được xây dựng tại bốn điểm A, B, C, D là 4 đỉnh của một tứ giác. Hãy tìm một điểm E nằm trong tứ giác ABCD để xây dựng trung tâm điều hành sao cho tổng chiều dài EA, EB, EC và ED là nhỏ nhất? 

Bài 2: Trên bản đồ của một tỉnh, người ta đánh dấu ba khu vực A,B,C là ba đỉnh của một tam giác; biết rằng khoảng cách AC = 30km, AB = 90km. a) Nếu đặt ở khu vực C máy phát sóng truyền thanh có bán kính hoạt động bằng 60km thì khu vực B có nhận được tín hiệu không? b) Cũng hỏi như vậy với máy phát sóng có bán kính hoạt động 120km. 

Bài 3: Cầu thủ bóng đá ở vị trí A và thủ môn ở vị trí D: Biết AD tạo với AB và AC hai góc bằng nhau (B và C là hai chân cột dọc của cầu môn). Trước cú sút của cầu thủ đối phương, thủ môn nhận ra rằng mình không cần phải dịch về bên phải hay bên trái. Theo em, người thủ môn đã vận dụng tính chất hình học gì để có thể đưa ra quyết định như vậy? 

Bài 4: Một con đường liên xã cách không xa hai địa điểm dân cư và hai địa điểm này nằm cùng một phía của con đường. Hãy xác định một địa điểm trên con đường đó để xây dựng nhà văn hóa sao cho nhà văn hóa đó cách đều hai địa điểm dân cư. 

Bài 5: Hai khu vườn A và B nằm về một phía của con kênh d. Hãy xác định bên bờ kênh cùng phía với A và B, một điểm C để đặt máy bơm nước từ kênh tưới cho hai khu vườn sao cho tổng độ dài đường ống dẫn nước từ máy bơm đến hai khu vườn là ngắn nhất. xe  nào