Question

Đã trả lời bởi chuyên gia

Answer 1

Hỏi đáp VietJack
a) Chứng minh $∆$ DMC = $∆$ DMH
- Xét $∆$ DMC và $∆$ DMH (đều là tam giác vuông tại M do DM $⊥$ BC), ta có:
MD là cạnh chung.
MC = MH (giả thiết M là trung điểm của CH).
=> $∆$ DMC = $∆$ DMH (c.g.c - hai cạnh góc vuông).
b) Chứng minh HD // AB
- Từ kết quả câu a, do $∆$ DMC = $∆$ DMH nên ta suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau: DC = DH.
=> $∆$ DHC cân tại D.
- Trong tam giác cân $∆$ DHC, hai góc ở đáy bằng nhau: DHC = C. $\hat{D H C} = \hat{C}$
- Mặt khác, theo giả thiết $∆$ ABC cân tại A nên: $\hat{B} = \hat{C}$ .
- Từ hai điều trên, ta suy ra: $\hat{D H C} = \hat{B} .$
Nhận thấy $\hat{D H C}$ và $\hat{B}$ (tức $\hat{A B C}$ ) là hai góc nằm ở vị trí đồng vị đối với cát tuyến BC.
=> HD // AB.
c) Chứng minh AH + BD > $\frac{3}{2}$ AB
- Ta có AH $⊥$ BC (giả thiết) và DM $⊥$ BC (giả thiết).
=> AH // DM.
- Xét $∆$ AHC có: M là trung điểm của HC và DM // AH. Theo định lý đường trung bình của tam giác, đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
=> D là trung điểm của AC.
- Xét $∆$ ABC cân tại A, đường cao AH ứng với cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến.
=> H là trung điểm BC.
- Vì D là trung điểm AC (chứng minh trên), nên BD cũng là đường trung tuyến của $∆$ ABC.
- Mà G là giao điểm của AH và BD => G chính là trọng tâm của $∆$ ABC.
- Áp dụng bất đẳng thức tam giác:
- Theo tính chất trọng tâm, ta có: AG = $\frac{2}{3}$ AH và BG = $\frac{2}{3}$ BD.
- Xét $∆$ ABG, áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: AG + BG > AB
- Thay các tỉ lệ trọng tâm vào bất đẳng thức:
$\frac{2}{3} A H + \frac{2}{3} B D > A B$
$\frac{2}{3} (A H + B D) > A B$
$A H + B D > \frac{3}{2} A B$
=> Bất đẳng thức đã được chứng minh.

...Xem thêm

Answer 2

Hỏi đáp VietJack
a) Chứng minh $∆$ DMC = $∆$ DMH
- Xét $∆$ DMC và $∆$ DMH (đều là tam giác vuông tại M do DM $⊥$ BC), ta có:
MD là cạnh chung.
MC = MH (giả thiết M là trung điểm của CH).
=> $∆$ DMC = $∆$ DMH (c.g.c - hai cạnh góc vuông).
b) Chứng minh HD // AB
- Từ kết quả câu a, do $∆$ DMC = $∆$ DMH nên ta suy ra hai cạnh tương ứng bằng nhau: DC = DH.
=> $∆$ DHC cân tại D.
- Trong tam giác cân $∆$ DHC, hai góc ở đáy bằng nhau: DHC = C. $\hat{D H C} = \hat{C}$
- Mặt khác, theo giả thiết $∆$ ABC cân tại A nên: $\hat{B} = \hat{C}$ .
- Từ hai điều trên, ta suy ra: $\hat{D H C} = \hat{B} .$
Nhận thấy $\hat{D H C}$ và $\hat{B}$ (tức $\hat{A B C}$ ) là hai góc nằm ở vị trí đồng vị đối với cát tuyến BC.
=> HD // AB.
c) Chứng minh AH + BD > $\frac{3}{2}$ AB
- Ta có AH $⊥$ BC (giả thiết) và DM $⊥$ BC (giả thiết).
=> AH // DM.
- Xét $∆$ AHC có: M là trung điểm của HC và DM // AH. Theo định lý đường trung bình của tam giác, đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm của cạnh thứ ba.
=> D là trung điểm của AC.
- Xét $∆$ ABC cân tại A, đường cao AH ứng với cạnh đáy đồng thời là đường trung tuyến.
=> H là trung điểm BC.
- Vì D là trung điểm AC (chứng minh trên), nên BD cũng là đường trung tuyến của $∆$ ABC.
- Mà G là giao điểm của AH và BD => G chính là trọng tâm của $∆$ ABC.
- Áp dụng bất đẳng thức tam giác:
- Theo tính chất trọng tâm, ta có: AG = $\frac{2}{3}$ AH và BG = $\frac{2}{3}$ BD.
- Xét $∆$ ABG, áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có: AG + BG > AB
- Thay các tỉ lệ trọng tâm vào bất đẳng thức:
$\frac{2}{3} A H + \frac{2}{3} B D > A B$
$\frac{2}{3} (A H + B D) > A B$
$A H + B D > \frac{3}{2} A B$
=> Bất đẳng thức đã được chứng minh.

Answer 3

a) Chứng minh $\triangle DMC = \triangle DMH$

Xét $\triangle DMC$ và $\triangle DMH$ có:

$MC = MH$ (vì $M$ là trung điểm của $CH$)
$\widehat{DMC} = \widehat{DMH} = 90^\circ$ (vì $DM \perp BC$)
$DM$ là cạnh chung
$\Rightarrow \triangle DMC = \triangle DMH$ (c.g.c) (đpcm).

b) Chứng minh $HD \parallel AB$

Vì $\triangle DMC = \triangle DMH$ (cmt) $\Rightarrow \widehat{C} = \widehat{MHD}$ (hai góc tương ứng).
Mà $\triangle ABC$ cân tại $A$ nên $\widehat{C} = \widehat{B}$.
Từ đó suy ra $\widehat{MHD} = \widehat{B}$.
Mà hai góc này ở vị trí đồng vị.
$\Rightarrow HD \parallel AB$ (đpcm).

c) Chứng minh $AH + BD > \frac{3}{2} AB$

Xét $\triangle HBC$ có $M$ là trung điểm $CH$ và $DM \parallel BH$ (cùng $\perp BC$), nên $D$ là trung điểm của $AC$.
Xét $\triangle ABC$ có $AH$ và $BD$ là hai đường trung tuyến cắt nhau tại $G$.

$\Rightarrow G$ là trọng tâm của $\triangle ABC$.
Theo tính chất trọng tâm và bất đẳng thức tam giác trong $\triangle GAB$:

$GA + GB > AB$
Mà $GA = \frac{2}{3}AH$ và $GB = \frac{2}{3}BD$
$\Rightarrow \frac{2}{3}AH + \frac{2}{3}BD > AB$
$\Rightarrow \frac{2}{3}(AH + BD) > AB$
$\Rightarrow AH + BD > \frac{3}{2}AB$ (đpcm).